本次要介绍的学术论文题为《On the Importance of the Mathematical Formulation to Get PINNs Working》，作者是Brahim El Mokhtari、Cédric Chauvière和Pierre Bonnet。该论文发表在《IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility》期刊第66卷第6期，于2024年12月出版。作者们分别来自法国克莱蒙奥弗涅大学的Institut Pascal研究所（El Mokhtari和Bonnet）和Laboratoire de Mathématiques数学实验室（Chauvière）。这是一篇专注于计算电磁学与人工智能交叉领域的研究报告，具体探讨了物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）这一新兴数值方法在求解偏微分方程时所面临的关键挑战及其解决方案。
研究的学术背景在于，物理信息神经网络（PINNs）自Raissi等人的开创性工作以来，因其能够将物理定律（以偏微分方程形式）无缝融入深度学习框架而备受关注。这种结合了数据驱动与物理建模的方法，在流体力学、结构力学、材料科学以及电磁兼容（EMC）等领域展现出巨大潜力。PINNs的优势显著：它们是无网格方法，避免了传统有限元或有限差分法中复杂的网格划分；能够嵌入先验物理知识，对噪声数据具有鲁棒性；易于利用GPU并行计算处理大规模问题；并且擅长处理多尺度问题和发现数据中的隐藏模式。然而，PINNs在实践中也面临诸多障碍，其中数值稳定性是主要问题。训练过程可能收敛到错误的局部极小值，产生看似合理但实际误差很大的解。此外，PINNs对超参数（如学习率、网络架构、激活函数）高度敏感，训练过程可能计算昂贵。
面对PINNs有时会“失效”无法收敛到正确解的问题，现有研究通常归因于上述超参数敏感性和损失函数平衡难题，并提出了三大类改进方案：扩展PINNs、混合PINNs以及最小化损失技巧。然而，本文作者另辟蹊径，他们提出的核心观点是：问题的数学表述形式本身，对于PINNs能否成功训练具有至关重要的、甚至可能是决定性的影响。 本研究旨在通过静电学实例，系统性地证明这一观点，并为求解泊松/拉普拉斯方程这类在电缆EMC参数计算中常见的问题，提供一个稳定可靠的PINNs数学表述框架。
研究工作的详细流程严谨而系统，主要包含以下几个关键步骤：
第一步：问题定义与数学公式化。 研究设定在一个二维正方形计算域ω = [0, 1] × [0, 1]内，求解由两个矩形区域γ1和γ2上的电荷分布所产生的静电势V。研究对比了三种等价的数学表述来建模同一物理问题： 1. 表述（1）： 将γ1和γ2视为理想导体，在其上施加恒定电势（+V0和-V0）作为内部边界条件。控制方程为拉普拉斯方程ΔV = 0。这是模拟平行板电容器的经典方式。 2. 表述（2）： 将导体上的恒定电势等价转化为沿导体边界∂γ1和∂γ2的线电荷密度ρl。此时控制方程变为泊松方程ΔV = -ρl/ε0，源项仅存在于边界线上。 3. 表述（3）： 这是本文提出的关键表述。它将电荷分布视为遍布整个矩形区域γ1和γ2的面电荷密度ρs。控制方程同样为泊松方程ΔV = -ρs/ε0，但源项分布在面上。最关键的区别在于，此表述完全消除了对矩形区域内部的边界条件需求，仅在计算域ω的外部边界∂ω上施加狄利克雷边界条件（V=0）。作者指出，传统有限差分法处理这三种表述均无困难，但PINNs的表现却截然不同。
第二步：建立参考解与PINNs求解器。 由于问题无解析解，研究采用中心有限差分法在精细网格（最高达800×800）上求解，并通过网格收敛性分析验证了其解的准确性，将其作为评估PINNs性能的“金标准”。同时，作者构建了一个标准的PINNs求解器作为基准。该求解器使用参数为θ的神经网络NN_θ(x, y)来近似电势V(x, y)。其训练损失函数L_pinn由两部分组成：在边界点∂ω上计算的条件损失L_bc，以及在域内点ω上计算的物理（偏微分方程）损失L_pde，两者通过一个权重参数α平衡。损失最小化通过Adam优化器实现。训练点的生成采用随机采样方式，属于无网格方法，并在矩形区域附近增加了采样点密度以提高分辨率。研究使用了简单的全连接网络架构（如3层，每层32个神经元，使用tanh激活函数），旨在证明无需复杂网络即可获得好结果。
第三步：系统性实验与结果分析。 这是研究的核心部分，作者依次将上述三种数学表述应用于PINNs求解器，并对比其结果。
针对表述（1）和（2）的实验： 尽管作者进行了大量的超参数调优、网络架构试验、正则化技术尝试和损失平衡策略，但PINNs均未能成功训练。对于表述（1），训练损失快速下降到约0.3后便陷入平台期，无法进一步降低。其输出的电势解（图2）与参考解相去甚远。对于表述（2），虽然得到的电势分布（图5）看起来“貌似合理”，但点对点绝对误差分析（图6）揭示，在矩形板附近误差高达0.63，完全不可接受。误差图（图4，6）清晰显示，主要误差集中在矩形板（内部边界）附近，即使在该区域增加更多训练点也无济于事。这表明，要求PINNs严格满足内部边界条件（表述1）或将源强集中在边界线上（表述2）会极大增加其优化难度，导致训练失败或收敛到错误解。
针对表述（3）的实验： 当使用提出的表述（3）时，即使采用非常简单的神经网络，训练过程也进行得非常顺利。训练损失和验证损失均可降至很低的水平（约10^{-3}量级）。得到的电势解（图9）与有限差分参考解（图10）视觉上高度吻合。为了定量评估，研究使用了三种不同密度的随机训练点集（10,000， 40,000， 160,000点）进行测试。点对点绝对误差图（图11， 12， 13）显示，最大误差显著降低（从0.063降至0.036），且误差分布均匀，不再集中于矩形板周围。均方误差（MSE）也达到了10^{-4}量级。值得注意的是，当训练点从40,000增加到160,000时，MSE并未显著改善，表明在表述（3）下，PINNs的收敛性和数据效率都很好。
第四步：复杂问题验证。 为了证明表述（3）的普适性和潜力，作者将其应用于一个更具挑战性的问题：求解一个能产生“EMC”字母形状电势的复杂电荷分布（图14）所对应的泊松方程。同样使用简单的PINNs，成功获得了与有限差分解高度一致的电势分布（图15，16）。点对点绝对误差（图17）在整个计算域内被控制在0.12以下，成功避免了训练失败模式。这有力地证明了，即使对于源项分布复杂、幅值变化大的问题，基于表述（3）的PINNs也能稳定工作。
本研究得到的主要结论非常明确且具有启发性：当物理信息神经网络（PINNs）在求解偏微分方程失败时，不应仅仅归咎于网络超参数或架构的复杂性。问题的数学表述形式是一个至关重要的因素，其重要性可能被低估了。 对于静电势问题（泊松/拉普拉斯方程），传统的、在内部边界上施加条件的表述（1）和将源项集中于边界的表述（2）极易导致PINNs训练失败。而本文提出的表述（3）——将源项分布在面上并完全消除内部边界条件——为PINNs提供了一个稳定且易于训练的框架。该框架允许使用简单的神经网络结构，无需繁琐的超参数优化，就能获得准确可靠的解。
这项研究具有重要的科学价值和应用价值。在科学层面，它突破了改进PINNs性能的传统思维定式（即专注于优化算法和网络本身），将视角转向了问题表述的数学本质，为理解PINNs的“失效模式”提供了新的理论视角。这对于发展更稳健、更可靠的物理驱动机器学习算法具有重要意义。在应用层面，该研究为计算电磁学，特别是电磁兼容（EMC）分析中的经典问题（如计算单位长度参数）提供了一个有效的PINNs解决方案。所提出的表述（3）易于实现，能处理复杂几何形状和电荷分布，且继承了PINNs无网格、易于并行计算的优势，为未来解决大规模、非线性、高复杂度的EMC仿真问题奠定了方法论基础。
本研究的亮点突出体现在以下几个方面：第一，重要的发现： 明确揭示了数学表述对PINNs成功与否的关键性影响，并通过严谨实验证明了一个看似细微的表述改变（从线源/边界条件到面源）能彻底解决训练难题。第二，新颖的思路： 在研究路径上独树一帜，不同于主流针对神经网络本身的改进，转而从问题建模的源头寻找解决方案，视角独特且有效。第三，方法的简洁性与鲁棒性： 所提出的方法不需要复杂的网络结构（如卷积或LSTM）或高级的训练技巧，仅使用简单全连接网络和标准优化器即可获得良好结果，证明了其内在的鲁棒性和实用性。第四，充分的验证： 从简单平行板电容器到复杂的“EMC”字母电荷分布，系统地验证了所提方法的有效性和泛化能力。第五，明确的工程应用导向： 研究始终围绕计算电磁学中的实际问题展开，结论对相关领域的工程师和研究人员具有直接的参考价值。
此外，论文中还隐含了一个有价值的观点：PINNs作为无网格方法，在处理复杂几何时，可以避免传统有限差分法因阶梯状离散化带来的几何误差，这是其在处理不规则形状问题时的一个潜在优势。作者展望，结合所提出的稳定数学表述，以及神经网络处理非线性问题的能力，PINNs有望成为解决大规模、高复杂度非线性EMC问题的关键工具。这项研究为物理信息神经网络在科学与工程计算中的更广泛应用扫清了一个重要的方法论障碍。