量子雷达模糊函数（quantum radar ambiguity function）研究介绍

本文题为《Quantum Radar Ambiguity Function》，作者为Hao Duan、Jun Li、Weihao Wang与Jihong Guo，均来自中国西安电子科技大学（Xidian University）雷达信号处理全国重点实验室；另一作者Qinghua Guo来自澳大利亚伍伦贡大学（University of Wollongong）工程学院。论文发表于IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems第62卷，2026年出版，属于量子雷达（quantum radar，QR）探测理论与信号设计领域的基础性研究工作。

一、研究背景与目的

在经典雷达（classical radar，CR）理论中，模糊函数（classical ambiguity function，CAF）是分析波形分辨率（resolution）、参数估计精度、目标分辨能力与杂波抑制能力的基础工具。然而经典模糊函数具有体积不变性，同时傅里叶变换的不确定关系也给出时间带宽积（time-bandwidth product，TBP）的限制，这使得任何单一波形的距离分辨率与速度分辨率之间存在不可同时优化的矛盾。量子雷达利用量子纠缠（entanglement）等资源，在探测和参数估计方面已展示出超越经典极限的潜力，但其分辨率能力此前尚未被系统定义和分析。本文旨在将经典模糊函数框架推广至量子雷达系统，建立量子模糊函数（quantum ambiguity function，QAF），以评估量子态自身的极限分辨率，并指导量子态设计。

二、主要研究内容与方法

作者首先从经典模糊函数的定义出发，说明经典雷达通过最大化两个目标回波之间的欧氏距离（Euclidean distance，ED）来构造模糊函数，并利用平方可积函数空间中由L2范数诱导的距离度量进行信号选择。在量子域中，量子态等价于经典波形，回波态由幺正算符（unitary operator）作用在发射态上得到。为了在测量端衡量两个回波态的可区分性，作者采用量子信息论中的乌尔曼保真度（Uhlmann fidelity）作为核心度量。通过对所有可能的正算子取值测量（positive-operator-valued measure，POVM）取最小Bhattacharyya系数，可得到与具体测量无关的量子保真度，并将其推广为在整个（τ，ωd）平面上连续定义的量子模糊函数。当发射态为纯态时，QAF简化为发射态与其延迟多普勒（delay-Doppler）移位态之间内积模的平方；当发射态为纠缠态时，仅对信号光束施加延迟多普勒算符，闲置光束保存并用于联合测量。

研究进一步讨论了QAF与CAF的异同。两者虽然在定义方式上都基于自相关思想，但其数学基础和物理实现存在本质区别。CAF采用L2范数，而QAF以迹距离（trace distance）和保真度为核心。通过Fuchs–van de Graaf不等式，作者建立了QAF与迹距离之间的关系，指出当发射态与回波态为纯态时，最大化迹距离与最小化QAF严格等价。在单光子子空间（single-photon subspace）中，时间算符与频率算符满足与位置动量对易关系相同的代数结构，从而可以使用位移算符描述目标延迟与多普勒效应。针对任意单光子纯态，QAF可化为经典模糊函数形式相似的表达式；针对双光子纯态，可通过联合谱幅度（joint spectral amplitude，JSA）计算QAF。需要注意的是，虽然单光子QAF与CAF形式相似，但两者物理意义不同，因为单光子态服从量子对易关系，并涉及如Hong–Ou–Mandel干涉等量子效应。文中还给出了基于非线性频率光束分束器（nonlinear frequency beam-splitter，NLFBS）和光子数可分辨探测器的QAF实现方案。

三、主要结果

针对单光子纯态，任意谱形的模糊体积恒为2π，单光子混合态的模糊体积不小于2π。这说明谱调制只能重新分配模糊体积，而不能压缩总体积。以高斯谱单光子态为例，其延迟与多普勒标称分辨率分别由谱宽和时间宽度决定，二者成反比关系，且联合分辨率受限于时间带宽积，距离与速度估计精度之间也存在类似制衡。这种制约来源于能量-时间不确定关系和QAF体积不变性。

对于纠缠双光子态，其模糊体积由约化态的纯度决定。当双光子态存在频率纠缠时，模糊体积小于2π；纠缠度越高，体积越小，极限情况下可趋近于零。以高斯联合谱幅度的频率纠缠双光子态为例，信号光子的时间带宽积不再保持最小值，而是随纠缠度增大而上升。与单光子态相比，当信号光子带宽相同时，纠缠态的多普勒标称分辨率提高因子为√(1−κ²)，其中κ为纠缠度量参数。由于模糊体积下降且时间带宽积上升，纠缠态可以同时获得更窄主瓣和更低旁瓣，突破了单光子态中分辨率的固有折中。相应地，延迟与多普勒估计精度之间的制衡也得到缓解。

在相位匹配函数调制方面，作者以II型自发参量下转换产生的双光子对为例，分别研究了高斯态、啁啾态和频率网格态。高斯相位匹配态的模糊体积反比于有效Schmidt数（或协同度），协同度越高，模糊体积越小。啁啾调制在相位匹配函数中引入频率啁啾项，可在不改变归一化因子的前提下增加信号光子时间带宽积，并减小模糊体积。此时QAF出现倾斜脊状结构，表明延迟与多普勒估计之间存在耦合，离对角元进入量子Fisher信息矩阵（QFIM）。数值结果显示，在典型光子源参数下，啁啾可显著改善多普勒标称分辨率与多普勒估计精度。频率网格态通过将非线性介质置于光腔中，使相位匹配函数具有周期性网格结构。其QAF在高斯包络之外出现周期调制项，主瓣大幅收窄，但代价是出现多个旁瓣。网格结构可显著降低模糊体积，并在实际参数条件下改善多普勒标称分辨率与多普勒估计精度，延迟标称分辨率与高斯态相同。需要注意的是，距离主瓣较远的旁瓣在实际目标速度受限时不会造成混淆，因此可通过优化腔参数消除首个旁瓣以内的模糊。

四、结论与意义

本文建立了量子模糊函数这一新的理论工具，为量子雷达中量子态的时延-多普勒分辨特性评估与设计提供基础。研究表明，量子纠缠具有双重作用：一方面提高信号光子时间带宽积，另一方面直接压缩模糊体积，从而同时改善距离与速度分辨率，这是经典雷达单一波形无法实现的。此外，通过对纠缠态相位匹配函数进行调制，不仅可重塑QAF形状，还可进一步降低模糊体积，显示出纠缠与调制之间的协同效应。这项工作为后续利用机器学习等手段设计具有特定QAF形状的量子态提供了理论支持。

论文的主要亮点包括：首次将模糊函数框架系统推广至量子雷达，提出了适用于任意量子态的QAF定义；通过QAF与量子Fisher信息矩阵之间的导数关系，建立了分辨率与参数估计精度之间的定量联系；揭示了纠缠对时间带宽积和模糊体积的双重改善机制；并展示了啁啾与网格调制在抑制模糊体积和优化QAF形状中的优势。作者也指出，实际部署量子雷达仍需克服传播损耗、热噪声导致的纠缠破坏，以及当前非线性光学元件实现上的挑战。