本文是一篇题为《输入约束下一类仿射非线性系统的自适应控制》的研究论文，作者为韩光信（吉林化工大学电气与控制工程学院）、刘瑶瑶（吉林化工大学电气与控制工程学院）和胡云峰（吉林大学通信工程学院）。该研究发表于《吉林大学学报(工学版)》，网络首发于2026年6月3日。

该研究属于控制工程领域，具体针对仿射非线性系统（Nonlinear-Affine Control System, NACS）的控制问题。在工业应用中，如机械臂、航天器、电机系统等，许多系统都可以用仿射非线性模型来描述。然而，实际物理系统不可避免地存在输入约束（即控制输入存在上限或下限），当输入达到饱和状态时，不仅会降低系统的跟踪性能，甚至可能导致系统失稳。现有的控制策略在处理输入约束时，存在一些局限：直接法（设计时即考虑约束）对模型精度依赖高，且对于多输入耦合系统，反步法等可能导致振荡加剧；间接法（先设计控制器后补偿饱和）则存在计算复杂或补偿能力有限的问题。因此，本研究旨在设计一种新的控制策略，以兼顾设计简便性和广泛适用性，有效提升输入约束下仿射非线性系统的轨迹跟踪性能和抗饱和能力。具体目标是为一类具有输入约束的仿射非线性系统，设计一种融合了自适应增益调节技术和非线性扩张状态观测器补偿的抗饱和跟踪控制方案。

研究的详细工作流程主要分为理论设计、稳定性证明和仿真验证三个核心部分。首先，研究者对具有输入约束的仿射非线性系统进行了数学建模。系统状态方程为常见的二阶形式，其实际控制输入被一个饱和函数所限制。为了便于控制器设计，研究采用正切函数来近似饱和非线性，将实际控制输入转换为近似线性项加一个有界误差项的形式。通过这一变换，原系统被重新表述为一个包含总扰动（系统非线性、饱和近似误差及外部扰动）的新系统。研究假设该总扰动有界且可微。

其次，研究者设计了核心的控制方案。整个方案结构包含三个关键部分：非线性扩张状态观测器（Nonlinear Extended State Observer, NESO）、基于反馈线性化的轨迹跟踪控制律，以及基于Nussbaum函数的自适应增益调节模块。具体步骤如下：第一步，设计非线性扩张状态观测器。研究者将总扰动扩张为系统的一个新状态，构建了一个三阶观测器。该观测器利用系统的输入和输出，实时估计出系统的状态、状态微分以及总扰动值。观测器中采用了非线性函数 fal 来改善估计性能。第二步，设计状态误差反馈控制律。控制指令由两部分组成：一部分是基于反馈线性化技术设计的轨迹跟踪控制律，它利用期望轨迹与实际状态的误差以及观测器估计的状态和扰动进行前馈补偿；另一部分是一个由Nussbaum函数动态调节的自适应增益。Nussbaum函数具有特殊的振荡特性，能够动态补偿未知时变的饱和非线性影响，自适应地调整控制信号增益。控制律的输出经过饱和函数处理后，作为最终的实际控制输入作用于被控对象。第三步，设计自适应更新律。自适应参数根据系统状态误差和控制指令进行在线更新，从而协调系统输入饱和与轨迹跟踪性能。

在完成控制器设计后，研究者基于李雅普诺夫稳定性理论，对闭环系统的稳定性进行了严格的证明。他们构造了一个李雅普诺夫函数，并通过对该函数求导，结合Young不等式和Nussbaum函数的性质，最终证明了系统的跟踪误差能够收敛到平衡点附近的一个有界集合内，从而确保了闭环系统的稳定性。

最后，研究通过两个仿真案例来验证所提控制策略的有效性。案例一是一个伺服系统，其输入力矩存在上限约束。案例二是一个二自由度串联柔性机械臂系统，其两个关节的输入电流均存在安全范围约束。在Matlab/Simulink仿真环境中，将本文提出的控制策略与抗饱和PID控制、饱和输出反馈鲁棒PD控制（针对伺服系统）以及两级串级PID控制、基于Nussbaum函数的反步法控制（针对柔性机械臂）进行了对比。仿真过程中，研究者设置了具体的参考跟踪轨迹（伺服系统为阶跃信号，机械臂为正弦/余弦信号），并详细给出了所提控制策略中观测器增益、反馈增益矩阵、自适应更新因子等所有关键参数的具体数值。仿真结果通过轨迹跟踪曲线、跟踪误差曲线、控制输入曲线和自适应参数响应曲线进行展示，并以均方根误差（RMSE）和响应滞后时间（伺服系统）、抖振范围（柔性机械臂）作为量化性能指标进行对比分析。

研究的主要结果清晰展示了所提控制策略的优越性。在伺服系统案例中，仿真结果表明，本文方法在轨迹跟踪的响应速度（滞后时间0.47秒）和控制精度（RMSE为8.71e-8）上均优于对比的Anti-windup PID和饱和输出反馈鲁棒PD方法。从控制输入曲线可见，本文方法能更快地脱离饱和状态，且超调与震荡更小。在二自由度柔性机械臂案例中，本文方法在两个伺服角的跟踪精度（RMSE分别为1.45e-4和2.14e-3）上均优于对比的两级串级PID和基于Nussbaum函数的反步法。同时，在抑制连杆偏转角抖振方面，本文方法也表现出更好的效果，抖振范围更小。控制输入曲线同样显示，本文策略能在约束范围内更平稳地工作，抖动更小。这些仿真结果有力地支持了理论设计的正确性，即所提出的融合了非线性扩张状态观测器补偿和Nussbaum函数自适应调节的控制策略，能够有效处理输入约束，在保证系统稳定的前提下，显著提升轨迹跟踪性能并抑制不利抖振。

本研究的结论是，针对输入约束下的仿射非线性系统轨迹跟踪控制问题，所提出的复合控制策略是行之有效的。该策略在理论层面，通过正切函数近似、扩张状态观测器统一观测补偿以及Nussbaum函数自适应调节，形成了一套完整的抗饱和控制设计框架，并得到了严格的稳定性证明。在应用层面，该策略具有较好的通用性，能够适配从单输入系统（如伺服系统）到多输入耦合系统（如柔性机械臂）等多种仿射非线性对象，有效缓解了因输入饱和导致的跟踪精度下降和机构抖振问题，提升了系统的控制性能与安全性。

本研究的亮点和创新之处主要体现在以下几个方面：第一，方法具有创新性。创造性地将非线性扩张状态观测器与Nussbaum函数自适应增益调节相结合，前者用于集中观测和补偿系统总扰动（包括非线性、饱和误差和外部扰动），后者用于动态处理未知的饱和非线性特性，这种结合方式兼顾了扰动抑制和抗饱和能力。第二，理论证明完整。基于李雅普诺夫稳定性理论，给出了闭环系统稳定且跟踪误差有界的严格证明，为方法的可靠性提供了理论基石。第三，应用验证充分。通过伺服系统和柔性机械臂两个差异显著的典型对象进行仿真验证，并与多种现有先进方法进行对比，全面展示了所提策略在提升跟踪精度、加快响应速度、减少超调抖振等方面的综合优势，证明了其广泛的适用性和有效性。第四，工程实用性强。所设计的控制器结构相对清晰，参数意义明确，并通过仿真给出了具体的参数设置示例，便于在实际工程中借鉴和应用。

此外，论文在引言部分对输入约束问题的研究现状（直接法与间接法）进行了梳理，指出了现有方法的不足，从而清晰地定位了本研究的价值和贡献。文中对Nussbaum函数及其性质的引述，以及对引理的应用，都体现了研究的严谨性。总的来说，这项研究为解决一类具有普遍性的工程控制难题提供了新的思路和有效工具。