关于论文《基于多方竞争的主从随机微分再保险博弈》的学术报告

本报告旨在向学界同仁介绍杨鹏（西安财经大学数学学院）于2026年5月26日在《系统科学与数学》（Journal of Systems Science and Mathematical Sciences）网络首发的一项最新研究成果。该研究聚焦于保险与再保险领域，在动态博弈和随机控制的框架下，探讨了存在多方竞争环境下的最优再保险契约设计问题，为理解竞争结构如何影响保险市场的风险分担与定价决策提供了严谨的理论模型和深刻的洞见。

一、 研究背景与目标

本研究属于金融数学、保险精算与随机控制理论的交叉领域。在再保险市场中，通常存在多个保险公司（原保险人）与多个再保险公司之间的互动。保险公司通过购买再保险来转移部分承保风险，而再保险公司则通过收取再保险费来承担这部分风险。传统的再保险决策模型往往假设单一的原保险人与再保险人，或忽略他们之间的竞争关系。然而，现实市场中，保险公司之间在争夺客户和市场份额上存在竞争，再保险公司之间在争取再保险业务上也存在竞争。这种双重竞争结构会深刻影响各方的风险分担策略（即自留额比例）和再保险定价策略。

此前的研究（如Hu和Wang[1]、Yang和Chen[15]等）已经探讨了主从博弈（Stackelberg game）框架下的再保险问题，其中再保险人作为领导者先定价，保险人作为跟随者后决定自留比例。也有研究引入了保险人之间的竞争（如Zhang和Liang[9]、Yang[11]）或再保险人之间的竞争。然而，同时考虑两个竞争的保险人与两个竞争的再保险人之间复杂的、嵌套的博弈关系，并在此框架下求解时间一致（time-consistent）的最优策略，是现有文献中尚未充分解决的挑战。

本研究的主要目标正是填补这一空白。具体而言，其研究目的包括：1）在均值-方差（mean-variance）准则下，分别建立两个保险人之间以及两个再保险人之间的非零和随机微分博弈模型；2）将这两个非零和博弈嵌套到一个两层的“主从随机微分博弈”框架中，其中再保险人作为领导者，保险人作为跟随者；3）运用随机控制理论和博弈论思想，求解出保险人的最优时间一致索赔风险分担策略和再保险人的最优时间一致再保险定价策略，从而得到完整的最优再保险契约；4）通过数值实验，分析竞争程度、风险厌恶程度以及保险业务关联性对最优策略的影响。

二、 研究流程与方法论

本研究是一个纯理论建模与推导工作，不涉及实证数据或实验，其“流程”体现在严密的数学模型构建与求解步骤中。研究流程可分为以下几个核心步骤：

第一步：模型基础与问题设定。
研究者首先构建了竞争环境下的财富过程动力学模型。假设有两个竞争的保险人（i=1,2）和两个竞争的再保险人。每个保险人的索赔过程服从复合泊松过程（Compound Poisson Process），并且两个保险人的业务之间存在相依性，这通过其索赔过程中包含一个共同的泊松过程来实现。每个保险人的财富过程取决于其保费收入、投资回报（假设为无风险利率r）、支付给再保险人的再保费以及扣除自留部分后的索赔支出。再保险形式为比例再保险（quota-share reinsurance），保险人i的自留比例记为 (a_i(t) \in [0,1])。再保险人i收取的安全负荷（即再保费附加费率）记为 (\eta_i(t) \geq \theta_i)（其中(\theta_i)是保险人的安全负荷），这是一个决策变量。由此，可以分别写出保险人和再保险人的财富随机微分方程（SDE）。

第二步：引入竞争与相对业绩考量。
为了量化竞争，本研究没有直接使用保险人和再保险人的绝对财富，而是引入了“相对财富”的概念。对于保险人i，其目标函数不仅考虑自身的终端财富，还考虑其相对于竞争对手（保险人m）的终端财富。具体地，定义了“竞争调整后的财富”(X_i^{a,\eta}(t))，它是自身财富与竞争对手财富之差的线性组合（组合系数为(\tau_i \in [0,1])）。系数(\tau_i)衡量了保险人i对竞争（相对业绩）的重视程度，(\tau_i)越大表示竞争意识越强。对再保险人i也做了类似处理，引入了竞争系数(\nu_i)。这一处理方法是本研究将竞争因素纳入动态优化框架的关键创新点。

第三步：定义目标函数与博弈结构。
在均值-方差准则下，每个参与者（保险人或再保险人）的目标是最大化其竞争调整后终端财富的期望，同时最小化其方差。由此定义了每个参与者的目标函数(J_i)（对保险人）和(\bar{J}_i)（对再保险人）。接着，研究者设定了嵌套的两层博弈结构：

1. 下层非零和博弈（保险人之间的博弈）：对于再保险人给定的任意定价策略(\eta(t))，两个保险人同时进行非零和博弈，各自选择最优的自留比例策略(a_i^*(\eta(t)))，以最大化自己的目标函数，形成纳什均衡（Nash equilibrium）。
2. 上层非零和博弈（再保险人之间的博弈）：在预见到保险人会对定价策略做出上述最优反应（即反应函数(a_i^(\eta(t)))）的前提下，两个再保险人同时进行非零和博弈，各自选择最优的定价策略(\eta_i^(t))，以最大化自己的目标函数，形成另一个纳什均衡。
3. 整体主从博弈：将下层博弈的解（作为上层博弈的约束）代入上层博弈，最终得到整个博弈的均衡解((a^(t), \eta^(t)))。在这个结构中，再保险人是领导者，保险人是跟随者，但同层参与者之间是竞争关系。图1清晰地展示了这种复杂的交互结构。

第四步：求解时间一致的最优策略。
由于均值-方差目标函数本质上是时间不一致的（time-inconsistent），直接应用经典的动态规划原理会遇到困难。为此，本研究采用了Björk和Murgoci[19]提出的处理时间不一致问题的“扩展的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程（Extended HJB Equation）”框架来求解时间一致（time-consistent）的策略。这是本研究的核心数学工具。

1. 求解保险人的最优反应函数：对于任意给定的再保险定价(\eta(t))，假设值函数和期望财富函数具有特定的线性形式，将其代入扩展的HJB方程系统。通过求解一阶条件，得到保险人i的最优自留比例反应函数(a_i^*(\eta(t)))的显式表达式（定理2）。该表达式表明，最优自留比例是自身定价(\eta_i(t))、竞争对手定价(\eta_m(t))、竞争系数(\tau_i)、风险厌恶系数(\gamma_i)、业务相依性参数(\lambda)以及索赔分布矩的函数。
2. 求解再保险人的均衡定价策略：将第一步得到的最优反应函数(a_i^(\eta(t)))代入再保险人的扩展HJB方程系统。同样通过求解一阶条件，得到再保险人i的均衡定价策略(\eta_i^(t))的显式表达式（定理4）。该表达式更为复杂，包含了所有模型参数。
3. 求解整体均衡：将再保险人的均衡定价(\eta_i^(t))代回保险人的反应函数，最终得到保险人在整体均衡下的最优自留比例(a_i^(t))（定理5）。定理5根据参数的不同取值范围，给出了四种可能均衡情形的完整解。

第五步：数值分析与经济学解释。
在获得解析解的基础上，研究者进行了数值实验（数值实验部分在提供的文本中未完全展示，但摘要和引言表明有此部分），旨在探讨关键参数（如竞争程度(\tau_i, \nu_i)、风险厌恶程度(\gamma_i, \bar{\gamma}_i)、业务相依性(\lambda)）对均衡策略（(a_i^(t))和(\eta_i^(t))）的影响，从而得出一些新的管理启示。

三、 主要研究结果

1. 竞争反应函数的显式解（定理2）：保险人i对再保险人定价的最优反应函数为：
   (a_i^*(\eta(t)) = 0 \vee (l_i(t)\eta_i(t) + \tilde{l}_i(t)\eta_m(t)) \wedge 1)
   其中(l_i(t))和(\tilde{l}_i(t))是由模型参数（如风险厌恶、竞争强度、索赔强度等）决定的复杂函数。这个结果有重要含义：

   • 竞争的影响：最优自留比例不仅依赖于再保险人i对自己业务的定价(\eta_i(t))，还依赖于其对竞争对手业务（保险人m的业务）的定价(\eta_m(t))。这表明竞争使得保险人的决策具有了策略互动性。
   • 业务相依性的影响：当不考虑业务相依性（(\lambda = 0)）时，反应函数简化为(a_i^*(\eta_i(t)) = \frac{\mu_{i1}\eta_i(t)}{\mu_{i2}\gamma_i e^{r(T-t)}} \wedge 1)，此时竞争效应消失（推论1）。这说明，保险人之间的业务竞争效应是通过其业务的相依性（共同冲击）来传导的。如果业务完全独立，即使存在竞争意识（(\tau_i > 0)），一个保险人的最优策略也不会直接受到另一个再保险人定价的影响。
   • 竞争与相依性的交互：对比推论1（无相依性，无竞争影响）和推论2（有相依性但无竞争意识，即(\tau_i = 0)）的结果，发现形式不同。这表明业务相依性和竞争意识共同作用，对保险人的最优反应函数产生了非线性的复杂影响。

2. 再保险人均衡定价的显式解（定理4与定理5）：再保险人i的均衡定价策略(\eta_i^*(t))是一个由(\Delta_i(t), \tilde{\Delta}_i(t), \hat{\Delta}_i(t))等复杂函数表达式决定的值，并与保险人的安全负荷下限(\theta_i)取最大值。定理5将均衡分为四种情形，核心取决于计算出的“理论均衡价格”是否高于各自的最低可接受价格(\theta_i)。

   • 情形1：双方的理论均衡价格都高于其最低价，则均衡定价即为该理论价格，保险人的自留比例是双方定价的线性组合。
   • 情形2/3：一方理论价高于最低价，另一方等于最低价。则高价一方按理论价定价，低价一方按最低价定价。保险人的自留比例会相应调整。
   • 情形4：双方都只能按最低价(\theta_i)定价。此时，保险人的自留比例公式退化为一个与定价无关的常数组合，竞争的影响依然通过业务相依性参数(\lambda)体现。
   • 竞争的影响：再保险人的定价策略同样受到竞争（通过(\nu_i)体现）和业务相依性的影响。在无业务相依性（推论3）时，再保险人的均衡定价策略也相互独立，简化为一元函数。这再次印证了业务相依性是竞争效应在保险人与再保险人之间跨层传导的桥梁。

3. 整体均衡的结构与性质：研究清晰地表明，最优再保险契约（(a_i^, \eta_i^)）是由一个复杂的、相互依赖的方程组决定的。保险人的决策（跟随者）依赖于再保险人的决策，而再保险人的决策（领导者）又预见到了保险人的这种依赖。同层参与者之间的竞争进一步扭曲了这种依赖关系。最终均衡策略是所有这些力量——风险转移、风险厌恶、竞争压力、业务关联性——共同作用的结果。

四、 研究结论与意义

本研究的核心结论是：在存在双寡头竞争的原保险市场和再保险市场中，最优的时间一致再保险契约（风险自留比例与再保险价格）不仅由传统的风险-回报权衡决定，还显著地受到竞争强度和保险业务相依性的影响。业务相依性（共同风险冲击）是竞争效应能够在保险人和再保险人之间产生交叉影响的关键渠道。当业务独立时，竞争的影响被隔离在同层之内；当业务相关时，竞争的影响会穿透市场层级，使得一个再保险人的定价决策能影响到另一个保险人的风险自留决策，反之亦然。

本研究的科学价值在于：

1. 理论模型的创新：首次在一个统一的随机微分博弈框架下，同时建模了保险人与再保险人两个层面的竞争，并求解了时间一致的均衡策略，丰富和发展了再保险博弈理论。
2. 方法论的整合：成功地将处理时间不一致问题的扩展HJB方程方法，应用于解决具有主从结构和层内竞争的多方随机微分博弈问题，展示了该方法在复杂金融博弈中的强大适用性。
3. 深刻的机制洞察：明确揭示了“业务相依性”作为竞争传导机制的关键作用，这一发现深化了我们对互联金融市场中竞争与风险分担互动关系的理解。

其应用价值在于为保险和再保险公司的管理层提供了决策参考：在制定再保险策略时，不仅要评估自身的风险状况和对手的定价，还需要考虑市场竞争格局以及自身业务与竞争对手业务之间的关联性。在高度关联的市场中，竞争策略需要更具前瞻性和全局性。

五、 研究亮点

1. 研究问题新颖且复杂：聚焦于“两个竞争的保险人”与“两个竞争的再保险人”之间的主从博弈，模型复杂度高，更贴近现实再保险市场的寡头竞争结构。
2. 模型构建精巧：通过引入“相对财富”和“竞争调整系数”（(\tau_i, \nu_i)）来量化竞争，并将业务相依性通过共同泊松过程建模，使得模型既能刻画竞争又能刻画风险关联。
3. 求解方法前沿：采用针对时间不一致问题的扩展HJB方程方法，求得了博弈的显式时间一致均衡解，保证了策略在动态执行过程中的最优性。
4. 结论具有启发性：清晰地分离并论证了业务相依性对竞争效应传导的核心作用，这是本研究最重要的理论发现之一，为后续相关研究指明了关键影响因素。

六、 其他有价值的内容

论文在讨论部分（第5节）还简要分析了边界情况（(a_i^* = 0) 或 (1)）的经济含义。(a_i^* = 0)意味着保险人将全部风险分出，这在实际中对应于财务再保险或停止承保特定业务的情形；(a_i^* = 1)意味着不购买再保险。作者指出，在主要分析中聚焦于内点解（(0 < a_i^* < 1)）是合理且符合大多数商业实践的。此外，论文的摘要和引言部分对现有文献进行了系统的梳理，清晰地定位了本研究的贡献所在。

综上所述，杨鹏的这项研究为竞争环境下的动态再保险决策提供了一个严谨、全面且可求解的理论分析框架，其结论对于学术研究和行业实践均具有重要的参考价值。