关于《系统科学与数学》网络首发论文《损失预防还是再保险？相依风险下的最优资金分配策略》的学术报告

本报告旨在向学术界同仁介绍由张彩斌和宋美欣（均来自南京财经大学金融学院）完成，并于2026年5月26日在《系统科学与数学》（Journal of Systems Science and Mathematical Sciences）进行网络首发的研究论文《损失预防还是再保险？相依风险下的最优资金分配策略》。该研究属于金融保险领域的风险管理与随机控制理论交叉研究。

一、 研究背景与目标

随着保险业务的不断发展，保险公司面临的多种风险之间往往存在复杂的相依性。在此背景下，如何为有限的资本在两种核心风险管理手段——损失预防（Loss Prevention）和再保险（Reinsurance）——之间进行最优分配，成为保险公司风险管理的核心问题。损失预防指通过主动投入资金（如加强安全检查、升级设备）来降低风险事件发生的概率或损失程度，是一种事前的、主动的风险控制策略。再保险则是通过支付保费，将部分风险转移给再保险公司，是一种事后的、被动的风险转移策略。传统的风险管理研究或单独考虑再保险策略，或在独立风险假设下进行分析，而在相依风险（Dependent Risks）框架下，对损失预防和再保险进行联合动态优化的研究尚不充分。本研究旨在填补这一空白，探讨在相依风险环境下，保险公司如何动态地、联合地决策损失预防投入和再保险购买比例，以最大化其终端期望效用。

二、 研究详细流程与方法

本研究采用了理论建模与数值分析相结合的方法，具体流程如下：

流程一：模型构建与相依风险刻画

1. 研究对象与设定：研究假设一家保险公司经营两种存在相依关系的保险业务。模型考虑一个有限时间区间 [0, T]。保险公司的初始资本为 x0，其总资本 X(t) 的动态变化过程是研究的核心。
2. 相依风险建模：为了刻画两种业务的索赔过程之间的相依性，研究采用了 Thinning 模型（稀释模型）。该模型从一个共同的泊松过程 N(t)（强度为 λ）出发，通过概率 p1 和 p2 分别“稀释”出两个相关的索赔计数过程 N1(t) 和 N2(t)。每个索赔的金额 Y_{ij} 是独立同分布的随机变量，具有均值 μ_i 和方差 ξ_i^2。通过扩散近似（Diffusion Approximation），将复合泊松索赔过程近似为扩散过程，从而得到资本过程的随机微分方程（SDE）。这种建模方法能有效捕捉业务间因共同冲击（Common Shock）导致的相依性，并使得后续的随机控制分析在数学上可处理。
3. 控制变量定义：
   • 损失预防 (α)：保险公司将总预算 m 中的一部分 α(t)m 用于损失预防。损失预防的效果通过降低索赔到达率来体现，即索赔强度函数从 λ 变为 λ(α(t))。函数 λ(α) 被设定为关于 α 的递减凸函数，满足 λ(0)=λ, λ'(α) < 0, λ''(α) > 0，表示投入越多，风险发生率下降，但边际效果递减。
   • 再保险 (q)：剩余预算 (1-α(t))m 用于购买比例再保险。假设只对第一种业务购买再保险，自留比例定义为 q = (1-α(t))m / ((1+η)λ(α(t))p1μ1)，其中 η 是再保险人的安全负荷。这意味着自留比例 q 与分配给再保险的预算以及当前风险水平（受 α 影响）动态相关。
4. 资本动态方程：综合保费收入、预防投入、再保险支出和索赔净支出，推导出保险公司资本 X^α(t) 的随机微分方程（见原文公式2.1）。该方程是后续优化问题的基础。

流程二：优化问题与HJB方程求解

1. 优化目标：研究的目标是找到最优的预防投入比例 α*(t)，以最大化终端时刻 T 的期望效用。采用指数效用函数（CARA）U(x) = -exp(-γx)/γ 来刻画保险公司的风险厌恶态度，其中 γ > 0 为绝对风险厌恶系数。
2. 价值函数与HJB方程：定义价值函数 V(t, x) 为在时间 t、资本为 x 时，采用最优策略所能获得的最大期望效用。根据随机最优控制理论，价值函数满足 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程（见原文公式3.1）。
3. 求解方法：由于采用了指数效用函数，研究者猜测价值函数具有分离变量的形式：V(t, x) = -exp(-γx + h(t))/γ。将此形式代入HJB方程，可将复杂的偏微分方程（PDE）化简为一个关于 h(t) 的常微分方程（ODE）以及一个关于控制变量 α 的静态优化问题（见原文公式3.3）。
4. 最优策略推导：静态优化问题的核心是求解函数 f(α) 在区间 [0,1] 上的最小值点 α*。通过对 f(α) 的凸性分析，并结合模型参数（主要是风险厌恶系数 γ、预算 m、索赔概率 p_i、再保险安全负荷 η 以及损失预防函数 λ(α) 的导数特性），研究得出了三种情况下的最优策略闭式解（定理3.1, 3.2, 3.3）：
   • 情况1（低风险厌恶）：当 γ 很小时，最优策略是将全部预算 m 投入损失预防 (α* = 1)，不购买再保险。
   • 情况2（中等风险厌恶）：当 γ 处于中等范围时，最优策略取决于损失预防的边际效率。若在 α=1 处的边际效率足够高（λ'(1) 绝对值较小），则仍全部投入预防；否则，最优策略是分配一部分预算给预防 (α* ∈ (0,1))，剩余部分购买再保险。
   • 情况3（高风险厌恶）：当 γ 很大时，最优策略取决于损失预防在初始点 (α=0) 和终点 (α=1) 的边际效率。若初始边际效率很高（λ'(0) 绝对值很大），则全部预算用于预防；若终点边际效率很低（λ'(1) 绝对值很小），则全部预算用于再保险 (α* = 0)；否则，采用混合策略 (α* ∈ (0,1))。

流程三：数值分析与经济解释

1. 参数设定：为了直观展示理论结果，研究进行了数值模拟。参数设定参考了既有文献：损失预防函数设为 λ(α)=1/(1+20α)；风险厌恶系数 γ 在较大范围内变动；预算 m 设为总保费收入的6%；两种业务的索赔概率 (p1=0.27, p2=0.03)、索赔额参数 (μ1, ξ1^2, μ2, ξ2^2)、再保险安全负荷 (η=0.4) 等均基于保险实务和文献进行了合理赋值。
2. 分析内容与结果：
   • 风险厌恶系数 (γ) 的影响：通过绘制最优预防投入比例 α* 随 γ 变化的曲线（图1），清晰验证了理论结论。曲线显示，随着 γ 增大（保险公司越来越厌恶风险），α* 从1单调递减至0，表明策略从“完全预防”经“混合策略”过渡到“完全再保险”。这揭示了风险偏好是驱动资金分配策略的核心因素。
   • 预防预算 (m) 的影响：固定 γ 为中等和高水平两种情况，分析 α* 随 m 的变化（图2及表2）。结果显示，在中等风险厌恶下，预算增加会降低预防投入比例（增加再保险）；在高度风险厌恶下，预算增加反而会提高预防投入比例。这说明预算规模通过影响两种工具的边际收益来改变决策：预算充裕时，高风险厌恶者更能承受预防投入的沉没成本以获取长期风险降低的收益。
   • 索赔概率 (p_i) 的影响：分析 α* 随业务1索赔概率 p1 的变化（图3）。结果表明，p1 升高（风险增大）会导致 α* 上升，即保险公司更倾向于增加预防投入而非再保险。这是因为索赔概率升高直接提高了再保险的成本（保费），使得主动预防的相对吸引力增加。

三、 主要研究结果

1. 理论结果：研究成功推导出了在相依风险、CARA效用和预算约束下，保险公司联合优化损失预防和再保险策略的闭式解。解的结构明确揭示了最优策略对风险厌恶系数 γ 的高度依赖性，并给出了区分三种策略（全预防、混合、全再保险）的清晰阈值条件。
2. 数值结果：数值分析直观地展示了理论结果，并进一步揭示了其他关键参数（预算 m、索赔概率 p_i）的影响机制。特别是发现了预算对最优策略的影响并非单调，而是与风险厌恶水平产生交互作用。
3. 结果间的逻辑关系：理论模型的构建（流程一）为求解优化问题（流程二）奠定了基础。HJB方程的求解得到了包含参数条件的最优策略解析解。数值分析（流程三）则是对这些解析解的经济含义进行可视化和深入阐释，验证了理论发现的稳健性，并揭示了参数间复杂的互动关系。例如，理论指出 γ 是关键，数值分析则量化了其影响程度；理论给出了 m 和 p_i 影响的数学条件，数值分析则描绘了其具体作用形态。

四、 研究结论与价值

结论：在相依风险下，保险公司的最优资本分配策略是一个动态权衡的过程，严重依赖于其风险厌恶程度。低风险厌恶时，应优先投资于损失预防以主动降低风险；高风险厌恶时，则应增加再保险比例以转移风险。此外，可用资金规模和索赔概率也显著影响决策：对于高风险厌恶者，充足的资金提升了损失预防的边际收益；而高索赔概率则增加了再保险成本，促使公司更倾向于通过预防措施进行主动风险管理。

价值：

1. 理论价值：本研究首次在相依风险框架下，对损失预防和再保险进行了联合动态优化建模，并获得了闭式最优策略。它扩展了现有的保险风险管理理论，特别是将主动的“损失预防”纳入与传统的“再保险”在同一优化框架内进行比较，为理解这两种根本性风险管理工具的互动关系提供了严谨的理论基础。
2. 应用价值：为保险公司在业务相依的现实环境中进行动态风险管理提供了直接的决策参考。研究结论提示保险公司管理者，在制定风险预算时，必须首先明确自身的风险容忍度（γ），并综合考虑可用资金（m）和不同业务线的风险特征（p_i, μ_i 等）。研究模型和结论可用于开发辅助决策工具，优化保险公司的资本配置效率。
3. 方法论价值：成功应用 Thinning 模型刻画相依风险，并结合扩散近似和随机最优控制理论（HJB方程）解决了复杂动态优化问题，展示了该方法论在保险金融领域处理相依性和动态决策的有效性。

五、 研究亮点

1. 研究问题新颖：聚焦于“损失预防”与“再保险”这两种本质不同（主动 vs. 被动）风险管理工具的联合优化与资金分配问题，在相依风险背景下进行研究，具有重要的理论前沿性和现实针对性。
2. 模型创新：创新性地将损失预防的效果建模为影响索赔强度函数 λ(α)，并将有限的预算 m 作为两种策略共享的约束资源，通过变量 α 和 q 的内在联系构建了统一的控制框架，模型设计巧妙且符合实际。
3. 结论深刻：研究不仅得出了最优策略，更深刻地揭示了风险偏好（γ）是驱动策略选择的首要因素，并发现了预算规模（m）对策略的影响会因风险偏好而异，以及风险水平（p_i）变化会改变两种工具的性价比排序。这些结论超越了直观认识，具有深刻的洞察力。
4. 清晰的决策边界：通过数学分析给出了不同策略适用的参数条件（阈值），使得理论结果具有明确的指导性和可操作性。

六、 其他有价值的讨论

论文在最后讨论了本研究的局限性与未来方向：

1. 模型假设了CARA效用函数，虽然简化了分析，但可能无法完全反映现实中复杂的风险偏好。未来可考虑使用CRRA等其他形式的效用函数。
2. 采用Thinning模型刻画相依性，未来可考虑使用Copula函数等其他相依结构进行对比或拓展研究。
3. 模型假设保险公司有充足的偿付能力（破产概率为0），未来可引入破产约束或破产概率最小化等目标。
4. 损失预防函数 λ(α) 采用了特定形式，未来可基于实际数据对函数形式进行更细致的校准或估计。
5. 模型未考虑投资机会，未来可将投资账户纳入，研究预防、再保险和投资的三重动态优化。

这些讨论为后续研究指明了有价值的拓展路径。