本文是一篇发表在 IEEE Transactions on Semiconductor Manufacturing（第38卷，第2期，2025年5月）上的原创研究文章，题为《A Comparative Study of Semiconductor Virtual Metrology Methods and Novel Algorithmic Framework for Dynamic Sampling》（半导体虚拟量测方法的比较研究及用于动态采样的新型算法框架）。该论文的主要作者是 Xu Han、Marcella Miller、James Moyne、Gregory William Vogl、Anita Penkova 和 Xiaodong Jia，通信作者为 Xu Han。研究团队分别来自 University of Cincinnati（辛辛那提大学）、University of Michigan at Ann Arbor（密歇根大学安娜堡分校）、美国国家标准与技术研究院（National Institute of Standards and Technology, NIST）以及 University of Southern California（南加州大学）。该研究得到了美国商务部、国家标准与技术研究院的资助。
一、学术背景与研究目标
这项研究属于半导体先进制造与过程控制领域，核心关注点是虚拟量测（Virtual Metrology, VM）技术。随着半导体制造持续向微型化发展，物理量测（即利用实际测量设备对晶圆进行检测）变得愈发困难且成本高昂。虚拟量测作为一种经济高效的替代或补充方案，在先进过程控制（Advanced Process Control, APC）、良率管理和腔体匹配等方面的重要性日益凸显。
然而，当前虚拟量测面临着诸多挑战。首先，在高度混合的制造环境（high-mix manufacturing）中，传感器数据会因设备老化和维护而产生漂移（drift）和偏移（shift），导致模型需要频繁重建。其次，高昂的量测成本导致用于训练模型的量测数据非常有限，特别是对于低产量或全新的配方（recipe），往往缺乏充足的历史数据来构建精确的模型。现有的虚拟量测模型，如多元线性回归（MLR）、偏最小二乘法（PLS）等，通常依赖大量的初始数据，且在数据发生偏移时往往需要重新训练，缺乏对有限初始数据和动态变化环境的有效应对能力。
针对上述问题，该研究明确了三个亟待满足的行业需求：一是需要补偿部分已知的设备状态；二是需要追踪数据的漂移和偏移；三是需要一种更灵活的动态采样（Dynamic Sampling, DS）策略以降低量测负载。基于此，该研究确立了核心目标，即提出一种在线高斯过程（Online Gaussian Process, OGP）模型，该模型能够在初始量测数据极少的情况下有效运行，并通过在线学习动态适应新数据，同时利用其不确定性量化（Uncertainty Quantification, UQ）能力来优化采样过程。
二、研究的详细工作流程
为了实现上述目标，研究团队设计并执行了一个包含算法开发、基准测试（benchmarking）和案例验证的完整工作流程。
首先，在算法开发与选择阶段，研究团队提出并构建了在线高斯过程（OGP）模型，并将其与六种在虚拟量测中常用的算法进行了全面的基准比较。这六种算法按照模型复杂度和能力递增的顺序被精心挑选，分别是：多元线性回归（MLR）、指数加权移动平均（EWMA）、外生变量自回归（ARX）、卡尔曼滤波器（KF）、贝叶斯外生变量自回归（BARX）以及双线性卡尔曼滤波器（DLKF）。每一种算法都代表了一种应对虚拟量测挑战的不同策略。例如，MLR是一种静态模型，一旦训练完成参数便固定；EWMA通过误差修正引入动态项；ARX则直接建模前一时刻的量测值作为外生变量；KF采用预测-校正机制；DLKF更是将模型参数（如动态项的权重）本身也作为时变状态进行在线更新。而该研究所提出的OGP模型，作为一种基于核方法的概率模型，其核心优势在于能通过核矩阵的在线扩充和超参数的优化实现灵活的在线学习。其工作原理是：当新的量测数据(u+, y+)可用时，一种方式是仅进行在线核扩充（online kernel augmentation），即在不重新计算整个模型的情况下，利用新数据更新协方差矩阵和均值函数，计算复杂度为O(n)；另一种更彻底的方式是最小化负对数边际似然（NLML）来更新核参数（如核函数的方差和长度尺度），以充分捕捉新数据中的模式，计算复杂度为O(n²)。在实际应用中，可根据计算资源情况，选择在每个批次或数个批次后更新核参数。
其次，在动态采样方法论的构建上，研究团队利用BARX和OGP算法提供的不确定性量化（即预测方差）能力，提出了一种简单高效的动态采样决策机制。该机制在固定速率或随机采样的基础上，引入一个基于模型预测方差的决策步骤：当模型对当前预测的置信度高（即预测方差低）时，认为该特征空间已被充分学习，可以跳过对该晶圆的物理量测；反之，当预测不确定性高时，则需要采集该晶圆进行量测以更新模型。决策的关键是一个动态阈值T，它被定义为样本预测方差的第T个百分位数。阈值T的初始值通过训练集上的留一法（leave-one-out）测试确定，在实际部署中，通过调整T可以生成量测成本与模型性能之间的经验曲线，从而为综合决策提供依据。
最后，在实验验证阶段，研究团队使用了来自化学机械平坦化（Chemical Mechanical Planarization, CMP）工艺的公开数据集。该数据集中的关键目标变量是材料去除率（Material Removal Rate, MRR），其特性是存在显著的漂移和偏移。研究被设计为三个递进的案例研究： - 案例研究一：数据追踪能力评估。此案例旨在评估各算法在未见过的数据上的预测和追踪能力。数据集按时间排序后，仅使用前100次运行作为初始训练集，以模拟初始模型建立时数据有限的实际场景。测试集则包含了之后发生的由设备维护等引起的漂移和偏移。 - 案例研究二：固定速率采样。此案例在更严苛的条件下（初始训练集减至25或50个晶圆）模拟新产品（或配方）的爬坡（ramp-up）过程，并评估BARX、DLKF和OGP在不同固定采样率下的表现。 - 案例研究三：动态采样。此案例直接比较OGP与BARX在动态采样方案下的性能。模型在初始50个样本上训练后，对后续晶圆进行预测，仅当预测不确定性超过设定的方差阈值T时才进行物理量测。
三、主要研究结果
研究结果显示，该研究提出的OGP模型在所有案例中均表现出色，特别是在数据有限和动态采样的条件下，其性能显著优于其他基准模型。
在案例研究一中，MLR模型由于无法适应数据的动态变化，预测误差巨大。EWMA和ARX模型由于过度依赖前一次的量测值，在第144次晶圆运行出现突发的干扰（dresser更换）时，预测同样出现了显著的偏差。相比之下，KF、DLKF、BARX和OGP等具备不同形式动态适应能力的模型，都展现出了令人满意的追踪能力，并能提供不确定性量化。其中，OGP的预测曲线与真实值拟合得最紧密、最稳定。
在案例研究二中，随着初始训练集大小的减少，BARX和OGP展现出了显著的鲁棒性（robustness）。当训练集仅有25个晶圆时，DLKF由于缺乏足够数据构建鲁棒的初始状态模型，追踪能力很差，需要较长的“调谐”期。而BARX和OGP则能迅速学习并准确预测。这一结果揭示了在低运行配方或新配方场景下，OGP等方法具有巨大的应用潜力。
在案例研究三中，通过对比不同方差阈值下的模型性能与样本数量，可以清晰地看到OGP在动态采样方面的压倒性优势。研究发现，BARX模型存在一个严重缺陷，即“方差消失”（vanishing variance）问题：随着在线学习过程中训练样本的累积，其预测方差会迅速收敛至一个极小值，导致模型对自身预测过度自信，从而丧失了有效的不确定性量化能力，无法准确判断何时需要新增量测。而OGP基于核的方法则从根本上避免了此问题，其预测方差能更真实地反映模型对当前状态的知识掌握程度。因此，当阈值设为0.8时，OGP达到了最佳的平衡。在固定采样下，数据组1和组2分别需要88和92个样本，而采用OGP动态采样策略，在选用平方指数（Squared Exponential, SE）核函数的情况下，以更少或相等的样本数量，取得了均方误差（MSE）和平均绝对百分比误差（MAPE）更低的性能。同时，研究还测试了有理二次（Rational Quadratic, RQ）和Matern核函数，进一步验证了OGP框架的整体优越性。
四、结论、意义与亮点
该研究论证并证实了，在线高斯过程（OGP）模型是解决半导体制造中虚拟量测所面临的数据漂移、数据有限和采样成本高等核心挑战的一个强大且先进的框架。OGP模型的关键创新在于，它成功地将概率机器学习中的不确定性量化与实际的运营决策（即动态采样）深度结合，形成一个优雅的闭环。这一闭环机制使得模型能够在没有额外成本的情况下，智能地判断自身知识的不足，并通过“主动请求”新的量测数据来补充学习，从而在模型预测精度和量测成本之间实现前所未有的动态平衡。
该研究的核心亮点和应用价值主要体现在：第一，它为初始量测数据极其稀缺（如只有25个）的场景提供了一个可行的虚拟量测解决方案，这能够极大加速新工艺从设计实验（Design of Experiments, DOE）模型向虚拟量测模型的过渡，显著缩短研发周期；第二，其内置的不确定性量化并非常规的附加功能，而是驱动动态采样的核心引擎，这一点与其他仅将UQ作为评估指标的模型有本质区别，其效果在对抗“方差消失”问题上的对比实验中得到了有力证明；第三，该动态采样策略为半导体晶圆厂（fab）带来了直接的经济效益，通过智能减少非必要的物理量测，不仅可以降低量测设备负荷和成本，还能缩短生产周期，提升整体吞吐量。最后，该研究所使用的CMP公开数据集和开源的代码，为后续研究者提供了可复现、可扩展的宝贵基准。作为未来的工作方向，研究团队计划探索稀疏在线高斯过程（Sparse OGP）以解决核矩阵随数据累积而扩展的计算复杂度问题，并研究独立更新均值函数与核参数的方法，以进一步提升模型在剧烈扰动下的追踪能力。