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同步直线计算机层析成像的三维傅里叶域解释及其切线对齐滤波规则

主要作者与发表信息

本文题为《A 3-D Fourier-Domain Interpretation of Synchronous Linear Computed Laminography and Its Tangent-Aligned Filtering Rule》，由哈尔滨工业大学超精密光电仪器工程研究中心的Shangyu Li、Xingyuan Bian、Qiye Hou、Shunli Wang以及Junning Cui（通讯作者）共同完成。该研究得到了国家科技重大专项项目（编号2025ZD1606500）的资助，发表于2026年第三届图像处理与人工智能国际会议（2026 3rd International Conference on Image Processing and Artificial Intelligence, ICIPAI），DOI为10.1109/ICIPAI70034.2026.11605553。

学术背景与研究目的

计算机层析成像（Computed Laminography, CL）是一种针对横向扩展物体的无损检测技术，特别适用于印刷电路板（Printed Circuit Board, PCB）等几何形态扁平、传统圆轨迹计算机断层成像（Computed Tomography, CT）难以应用的对象。与标准圆轨迹CT相比，非圆轨迹采集几何在系统设计和物体可达性方面具有更大灵活性。在众多非圆轨迹中，同步直线轨迹（Synchronous Linear Computed Laminography, SLCL）因其源与探测器可沿简单直线同步平移、机械结构紧凑且便于实现而备受关注。

然而，同步直线CL的重建机制并不像圆轨迹CT那样直观。在圆轨迹CT中，滤波反投影（Filtered Backprojection, FBP）中的滤波方向由标准重建公式明确给出，不存在歧义。但在SLCL中，当不同轨迹段沿不同面内方向平移时，正确的滤波方向就变得不再明显。一个朴素的实现可能对所有投影统一应用固定的探测器方向滤波。数值观察表明，当滤波方向与对应轨迹段的平移方向不一致时，重建质量会显著下降。因此，如何在SLCL中正确选择滤波方向成为一个基本且具有实际意义的问题。

本文的核心目标是从三维傅里叶域的角度解决这一问题，建立一个紧凑的SLCL傅里叶域解释框架，明确斜坡滤波（Ramp Filter）应作用于哪个探测器坐标，从而为混合多直线轨迹的FBP重建提供几何一致的滤波轴选择规则。

研究流程与详细方法

本研究的核心工作分为理论推导、算法设计和数值验证三个层次。

在理论推导层面，作者首先建立了SLCL的几何模型。设源位置和探测器中心在给定轨迹段上由参数λ表示为s(λ)=s₀+λτ和d(λ)=d₀+λτ，其中τ为当前直线段的单位切向量。源与探测器同步运动，因此它们之间的相对几何关系在每个轨迹段内保持固定。探测器平面由两个正交坐标u和v参数化，其中u为行坐标，v为列坐标。投影数据p(λ,u,v)表示从源s(λ)到探测器元素rd(λ,u,v)的射线上的线积分。

为了揭示平移方向的作用，作者对投影数据关于轨迹参数λ进行一维傅里叶变换，得到p̃(ω,u,v)。关键的结构性事实在于：由于源与探测器同步平移，参数λ仅通过共同位移λτ进入投影模型。因此，经过傅里叶变换后，频率变量ω直接耦合到物体沿切向τ的频率分量上。换言之，变换后的数据p̃(ω,u,v)自然关联到物体三维傅里叶变换的一个二维切片上，该切片位于平面k·τ=ω上，其中k为三维空间频率变量。这意味着SLCL重建机制的核心是：每个固定的ω值并不对应完整的傅里叶域，而只对应一个垂直于轨迹切向的二维傅里叶切片。

接下来，作者分别分析了两种特殊情况。当轨迹沿y方向平移时，即τ=ey，傅里叶变量ω与物体频率ky绑定，数据对应切片ky=ω。此时，对于固定的ω，探测器坐标v充当(x,z)切片上二维Radon变换的距离参数，而坐标u决定线的取向和索引。由于二维Radon变换的反演要求对距离变量进行斜坡滤波，因此y方向段必须在v方向上进行滤波，即列方向滤波。同理，当轨迹沿x方向平移时，即τ=ex，探测器坐标u充当(y,z)切片上Radon变换的距离参数，v成为角度或索引参数，因此正确的滤波方向为u方向，即行方向滤波。

这两种特殊情况揭示了一个共同规则：对于每个直线轨迹段，关于平移变量的傅里叶变换将三维问题约化为一系列垂直于该段切向的二维Radon反演问题，斜坡滤波必须作用于在该切片上成为Radon距离变量的探测器坐标。由此得到切线对齐滤波规则：若τ平行于ex则沿u滤波，若τ平行于ey则沿v滤波。

在算法设计层面，该理论直接导向混合多直线SLCL的实用重建策略。设采集由M个直线段组成，各段切向量为τm。对每个段，投影数据先沿与段切向对齐的探测器坐标进行滤波：若τm平行于ex，则沿u方向对pm进行斜坡滤波；若τm平行于ey，则沿v方向滤波。滤波后的投影qm再经过几何一致的反投影并累加，得到最终的体积重建f̂(x)。该策略实现简单：数据先按直线段划分，每段沿其切线对齐的探测器坐标滤波，随后进行标准几何反投影。由于段边界由采集轨迹自然定义，因此不需要在行滤波和列滤波数据集之间进行额外插值。

在数值验证层面，作者设计了一个专门的实验来隔离滤波轴选择的影响。所有对比重建均使用相同的投影数据、系统几何、斜坡滤波核、插值方案和反投影权重。全局列滤波和全局行滤波方法对所有轨迹段应用一个固定滤波方向，而所提方法根据每段的方向选择滤波坐标。模拟对象为板状PCB仿体，体积尺寸为512×512×31体素。采用锥束SLCL几何，源到物体距离为400，物体到探测器距离为200，源到探测器距离为600，探测器包含600×600像素。混合轨迹由两条正交直线段组成，形成十字形扫描。每段包含300个均匀采样的平移位置，范围从-299.5到299.5。第一段沿y方向平移，第二段沿x方向平移，总计600个投影。斜坡滤波在傅里叶域中实现，通过对选定探测器坐标进行一维FFT，将位移后的频谱乘以归一化斜坡核，再进行逆FFT。

主要实验结果

研究比较了三种重建策略：全局列滤波、全局行滤波和逐段切线对齐滤波。由于PCB仿体是横向扩展的板状物体，其主要结构信息位于板平面内，因此以中央xy切片作为代表性结果。结果显示，两种全局固定滤波方向均引入了可见的方向性失真和迹线结构恢复不完整。相比之下，逐段切线对齐重建更忠实地保留了PCB图案，在板平面内产生了更均衡的结构表示。

定量比较表明，逐段策略在中央xy切片上取得了最低的RMSE（0.3274）和NRMSE（0.8451），以及最高的SSIM（0.4944）和PSNR（9.9013 dB）。虽然逐段策略的MAE（0.1632）与全局列滤波（0.1626）相当，但逐段方法在三种测试策略中提供了最佳的整体重建性能。灰度值轮廓图进一步显示，两种全局固定滤波方向在PCB切片上导致取向依赖性失真，而所提逐段切线对齐滤波对迹线结构提供了更均衡的恢复。

此外，研究者还进行了紧凑扰动测试，以检验观测到的滤波轴效应是否与单一采样设置或无噪声投影条件有关。测试包括每段150和50个平移位置的两种降采样情况，以及向投影数据添加标准差为最大投影值1%的零均值高斯噪声的情况。结果表明，在所有测试的扰动设置下，逐段策略始终产生比两种全局固定滤波策略更低的RMSE和更高的PSNR。当每段平移位置数从300减少到150和50时，相对行为保持稳定，表明观测到的改进不依赖于某一特定的平移采样密度。噪声情况也表明在轻度投影噪声下保持了相同的相对趋势。

研究结论与价值

本文从三维傅里叶域的角度系统地解决了同步直线计算机层析成像中滤波轴选择的问题。在本文采用的探测器约定下，y方向平移需要列方向滤波，x方向平移需要行方向滤波，因此混合多直线扫描需要逐段滤波。PCB仿体实验验证了这一切线对齐策略在测试的双直线情况下相比全局固定滤波方向减少了方向相关重建失真。降采样密度和轻度投影噪声下的附加扰动测试显示了相同的相对趋势。

这项研究的科学价值在于提供了一个几何一致的滤波轴选择规则，明确了滤波操作与逐段采集几何之间的内在联系。这一规则不仅解释了为什么固定的探测器方向滤波在SLCL中不可能普遍正确，而且为FBP型重建的算法实现提供了简明而严格的指导。在应用层面，该研究为实际工业检测中经常遇到的混合多直线扫描场景提供了可直接实施的重建准则，具有重要的工程应用前景。未来的工作将探讨该规则能否通过局部切向近似推广到曲线轨迹，并在不同物体结构、更强噪声水平、探测器失准和真实工业采集中进行验证。

研究亮点

本研究的主要发现是建立了SLCL三维傅里叶域解释框架，证明每个固定的傅里叶变量ω对应一个垂直于轨迹切向的二维切片，而非完整的三维傅里叶域。基于此，揭示了探测器行坐标和列坐标在SLCL中扮演的不对称角色——一个成为有效Radon距离变量，另一个仅作为角度或索引参数。这一理论洞察的独特之处在于，它将滤波方向的选择从经验性实现细节提升为重建模型的内在组成部分。该方法的新颖性在于其简洁性：不需要复杂的插值或额外计算，只需要按照轨迹段的切向方向选择滤波坐标即可，实现极为简便。