物理信息神经网络方法及其在核反应堆计算中的应用：一项先导研究
本报告旨在向中文研究者介绍由Mohamed H. Elhareef和Zeyun Wu进行的一项先导性研究，该研究已发表于*Nuclear Science and Engineering*期刊2023年4月出版的第197卷第4期（在线发表于2022年11月15日）。作者分别来自Virginia Commonwealth University的机械与核工程系以及Alexandria University的核与辐射工程系。此项工作系统地探讨了物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN）方法在核反应堆中子扩散计算领域的应用潜力，针对固定源和本征值这两类核心问题进行了深入的数值验证。
一、 学术背景与研究目标
核反应堆的精确建模与计算依赖于求解描述堆芯内中子行为的一系列偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）。传统数值方法，如有限元法（Finite Element Method, FEM），虽然成熟可靠，但在处理复杂几何、多物理场耦合问题时，常面临计算复杂、前处理（如网格划分）繁琐等挑战。另一方面，纯粹的数据驱动方法（Data-Driven Approaches）虽易于实现，但其性能严重依赖于大量高质量的训练数据，而在核工程领域，获取此类数据的成本往往极其高昂。在此背景下，理论引导的数据科学（Theory Guided Data Science, TGDS）这一新兴范式应运而生，旨在将科学知识（如控制物理规律的PDE）嵌入数据驱动模型中，从而减少对数据的依赖并确保解的物理一致性。
物理信息神经网络（PINN）是TGDS框架内的一种代表性方法。其核心思想是使用一个神经网络（Neural Network, NN）来近似PDE的解。与传统NN仅拟合数据不同，PINN在训练损失函数中额外引入了一个“物理信息”项，该项通过自动微分（Automatic Differentiation, AD）技术计算PDE的残差。通过最小化总损失函数（包括数据拟合项和物理残差项），PINN能够同时满足已知的边界/初始条件以及内部的控制方程，从而得到物理一致的解。
尽管PINN在流体动力学、量子力学等多个科学与工程领域已展现出成功应用，但在核反应堆物理计算，特别是基于多群中子扩散方程这一核心模型的应用，仍处于初步探索阶段。此前虽有少量相关研究，但多集中于特定边界条件处理或简单模型。因此，本研究的目标是进行一项系统性的先导研究，全面评估PINN方法在解决核反应堆中子扩散问题（包括固定源和本征值问题，单群和多群模型）中的可行性与潜力，明确其优势与当前存在的计算缺陷，为后续更深入的应用奠定基础。
二、 详细研究流程与方法
本研究的工作流程主要分为方法论构建、问题分类求解和系统数值验证三个阶段。
第一阶段：PINN方法框架构建与扩展 首先，研究基于Raissi等人提出的“软约束”PINN框架，为反应堆问题量身定制了求解策略。对于标准的固定源问题，采用经典的前向PINN方法。其工作流程如下： 1. 神经网络构建：构建一个以空间坐标（如x, y）为输入、以中子通量密度为输出的全连接神经网络 net_φ。 2. 物理残差构建：利用自动微分，根据中子扩散方程（PDE）的形式对 net_φ 进行微分，构建出表示PDE残差的另一个神经网络 net_f。net_φ 和 net_f 共享相同的可学习参数（权重和偏置）。 3. 损失函数定义：总损失函数包含两部分：(a) 边界条件损失：在边界采样点上，计算NN预测的边界条件（如Robin边界条件）与理论值之间的均方误差（Mean-Squared Error, MSE）；(b) 物理残差损失：在求解域内部随机采样的“配置点”上，计算 net_f 输出的PDE残差的MSE。通过最小化该损失函数，驱使NN同时满足边界条件和内部物理定律。
其次，针对反应堆物理中独有的 k-本征值问题（即临界计算），研究团队对标准PINN框架进行了关键性修改与扩展： 1. 引入自由学习参数：将本征值k也作为一个可学习的标量参数加入优化过程。 2. 设计新颖的正则化项：为避免优化过程收敛到平凡解（零通量），研究提出并引入了一个正则化项。该正则化项通过强制要求预测通量在区域上的积分（或与裂变率相关的量）等于一个预设的非零常数（例如1，即归一化），从而有效排除零解。 3. 更新损失函数：总损失函数在固定源问题损失的基础上，增加了上述正则化项。通过这种方式，PINN能够同时求解出基本模态的中子通量分布（本征函数）和对应的有效增殖因子k（本征值）。
第三，将方法扩展到多群扩散模型。对于包含多个能量群（如两群）的耦合PDE系统，研究采用具有多个输出节点的神经网络（每个节点对应一个能群的标量通量）。相应地，物理残差损失变为各群方程残差损失之和，正则化项则基于总裂变率构建。
第二阶段：研究对象与数值算例设计 研究设计了一系列从简到繁的数值算例，以全面测试PINN的性能。研究“对象”即为这些不同复杂度的问题模型： 1. 单群固定源问题：采用“松耦合反应堆模型”（Loosely Coupled Reactor Model, LCRM）的二维几何。此算例用于初步验证PINN可行性，并系统优化神经网络超参数（隐藏层层数、每层神经元数）和训练点数量。 2. 单群k-本征值问题：设计了两个具有不同几何和材料布置（对称与非对称）的二维反应堆模型。 3. 多群固定源问题：包括（a）一维均匀平板模型（具有解析解），（b）一维七区非均匀平板模型（三种材料），（c）二维两区模型。 4. 多群k-本征值问题：包括（a）一维三区（两种燃料、一种反射层）平板模型，（b）一个简化的二维五区模型（灵感来源于C5G7基准题）。
所有算例均采用拉丁超立方抽样（Latin Hypercube Sampling, LHS）策略在求解域和边界生成训练点（配置点）。
第三阶段：模型训练、求解与对比验证 1. 实现工具：使用TensorFlow 1.0框架实现所有PINN模型。神经网络均采用双曲正切（tanh）激活函数。优化过程分两步：首先使用Adam优化器进行固定次数（10^5次）的迭代，然后使用L-BFGS算法进行精细优化直至收敛。 2. 参考解获取：为量化PINN解的精度，每个算例都获取了高精度的参考解。对于固定源问题，使用COMSOL Multiphysics软件的高阶有限元解作为参考。对于k-本征值问题，使用基于有限元法和传统幂迭代法（Power Iteration）的自编求解器获得参考的k值和通量分布。一维均匀平板问题则与理论解析解对比。 3. 误差评估：通过计算预测通量与参考解之间的平均绝对误差（MAE）、均方误差（MSE）、平均相对误差以及k本征值的相对误差（以pcm为单位，1 pcm = 0.001%）来评估PINN的性能。
三、 主要研究结果
研究在各个算例上均获得了具有说服力的结果，证明了PINN在反应堆计算中的初步可行性。
在单群固定源（LCRM）算例中，系统的参数研究表明，增加网络深度和宽度可以提高预测精度。在选定的最优架构（8隐藏层，每层40神经元）和训练点规模（10,000个内部点，每边界100点）下，PINN预测的通量与FEM参考解相比，平均相对误差约为0.69%，最大误差约为6.9%。误差在计算域内分布相对均匀，但在堆芯-屏蔽层界面处观察到最大误差。
在单群k-本征值算例中，结果令人鼓舞。对于对称几何模型，PINN预测的k值为0.96266，参考值为0.96395，相对偏差为-0.13%（-129 pcm）。对于非对称几何模型，预测k值为0.95894，参考值为0.96321，偏差为-0.44%（-427 pcm）。通量分布的MAE量级在10^-6左右，显示出高精度。
在多群固定源算例中，PINN展现了处理耦合PDE的能力。一维均匀平板问题中，快群和热群通量的MAE分别低至0.0043和0.0014，与解析解几乎重合。一维非均匀七区问题中，虽然材料参数突变带来挑战，但PINN解与FEM解仍吻合良好，快群和热群MAE分别为0.1542和0.0152。二维两区问题复杂度更高，快群和热群通量的MAE分别为2.1382和3.9886，考虑到通量平均值，相对误差分别在3%和2%量级，结果可以接受。
在多群k-本征值算例中，PINN成功求解了本征值问题。一维三区问题预测k值为0.96764，参考值为0.96243，偏差为+0.54%（+521 pcm）。二维五区问题预测k值为0.93620，参考值为0.92764，偏差为+0.92%（+856 pcm）。通量预测的MAE量级在10^-5左右，但相对于通量平均值，二维问题的相对误差较大（快群~8%，热群~15%），表明随着问题复杂度提升，精度有所下降。
结果的逻辑关联：从简单到复杂的算例序列，系统地验证了PINN方法从处理单PDE到耦合PDE系统、从固定源到本征值问题的扩展能力。每个阶段的结果都为下一阶段更复杂问题的求解提供了信心和方法基础。特别是单群本征值问题的成功，直接支持了将其正则化方法推广到多群本征值问题的合理性。
四、 研究结论与价值
本研究得出结论：物理信息神经网络方法在核反应堆中子扩散计算中具有明确的可行性和应用潜力。这项先导研究成功地将PINN框架应用于从单群到多群、从固定源到k-本征值的各类反应堆物理模型，并获得了一系列与参考方法可比的、可接受精度的解。
研究的科学价值与应用价值： 1. 方法论贡献：提出了针对反应堆k-本征值问题的PINN扩展方案，通过引入自由学习参数和基于积分约束的正则化项，有效解决了本征值求解和排除平凡解两大难题。 2. 计算范式创新：展示了PINN作为一种无网格、全连续求解器的优势。它避免了传统方法中复杂的网格划分和对边界/界面条件的特殊处理，为复杂几何和多物理场耦合问题提供了新的求解思路。 3. 应用潜力：研究表明，PINN有潜力发展成为核反应堆设计分析，特别是先进反应堆涉及强非线性、多物理耦合场景下的有效工具。其“一体化”求解特性可能简化传统迭代求解流程。
五、 研究亮点
六、 其他有价值内容
研究还简要讨论了PINN相较于传统方法的其他优势，例如天生适用于逆问题（参数辨识）、便于不确定性量化等，虽然本文聚焦于前向问题，但这些特点暗示了PINN在核工程领域更广阔的应用前景。同时，研究承认当前的实现尚未对PINN的优化进行深度调优，这意味着通过采用更先进的训练技巧和网络设计，现有结果的精度和效率仍有提升空间。这项工作为物理信息机器学习在核科学技术领域的深入应用点燃了一盏重要的引路之灯。