这篇由Yu-Hang Liu、Jing-Cheng Liang、Bing-Zhong Wang和Ren Wang共同完成的研究论文，于2025年2月发表在IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques期刊（第73卷，第2期，起始页码844）。所有作者均来自中国电子科技大学的应用物理研究所。论文题为《基于嵌入解析模型的物理信息神经网络的电磁周期性结构逆向设计方法》，属于类型a：关于单个原创性研究的报告。
本研究聚焦于计算电磁学与人工智能交叉领域，核心是提出并验证一种用于电磁周期性结构（如人工磁导体、频率选择表面等）逆向设计的高效新方法。在传统电磁设计中，工程师依赖先验知识和经验来构思初始结构，然后进行参数优化。这种方法往往受限于初始构想，难以探索更广阔的设计解空间。逆向设计则直接从已知的性能目标出发，求解出未知的器件结构，有望突破传统思维的局限。近年来，以神经网络为代表的数据驱动方法在逆向设计中展现出强大能力，但它们通常需要大量由昂贵、耗时的电磁仿真生成的数据集，且训练过程与经典电磁理论框架脱节，造成理论资源的浪费。物理信息神经网络（PINN, Physics-Informed Neural Network）的出现部分解决了这些问题，它将控制方程、边界条件等物理模型作为损失函数的一部分，实现无监督或半监督学习，减少了对数据量的依赖。然而，传统PINN仅通过外部损失函数引入物理知识，学习过程较为抽象，容易偏离物理模型。针对这一挑战，本研究团队提出了嵌入解析模型的物理信息神经网络（EAM-PINN）。该方法的核心创新在于，不仅通过外部物理约束（如控制方程）来引导网络，更重要的是将周期性结构的解析物理知识直接嵌入到神经网络架构本身，形成一种“内外结合”的完整计算框架。本研究旨在系统阐述EAM-PINN方法的构建原理，并将其应用于人工磁导体和多种频率选择表面的逆向设计中，通过数值实验、全波仿真以及实物加工测试，全面验证该方法的有效性、高效性和优越性。
研究的详细工作流程清晰，主要包含方法构建和实例验证两大阶段。在第一阶段，即EAM-PINN模型的构建中，研究团队以超表面单元（由一层介质和两层穿孔金属膜构成）为具体研究对象。工作流程始于物理模型的建立。他们采用了模匹配法（Mode Matching Method），推导出电磁波与超表面相互作用的精确控制方程组（论文中的公式7-14）。这些方程描述了在入射波激励下，各个区域（介质层前后及内部）的电磁场模式系数与两层金属膜形状函数之间的严格物理关系。形状函数g1(x, y)和g2(x, y)定义了金属膜上每一点是金属（0）还是空气（1），即决定了最终的结构图案。逆向设计的目标就是求解出能满足特定S参数（如反射相位、传输系数）目标的g1和g2。接下来是EAM-PINN网络架构的设计，这是本研究的核心。整个模型包括一个主网络、两个子网络和一个损失函数。主网络负责生成空间各点的切向电磁场Et和Ht。其创新之处在于引入了周期性神经元：研究人员用满足周期性边界条件的Floquet模式解（即公式1-4给出的解析表达式）替换了传统神经元中的权重矩阵，并将偏置置零，激活函数设为恒等映射。这样，每个神经元的输出直接就是带有待定模式系数的Floquet模式分量，整个主网络的输出便是这些模式场的叠加，从而将电磁周期结构的核心物理知识“硬编码”到了网络前向传播的过程中，作为嵌入式物理知识。两个子网络则是普通的全连接神经网络，输入为空间坐标(x, y)，输出为经过准二值化函数（Logistic函数）处理的g̃1和g̃2，用以逼近真实的膜层形状。最后，损失函数的构造体现了外部物理约束。它将前述模匹配法推导出的八个控制方程（公式7-14）的残差（即方程左右两边的差值）的L2范数求和（公式16）。在训练过程中，主网络的输出（电磁场）、子网络的输出（形状函数）被代入这些控制方程计算残差。通过反向传播算法同时优化主网络中的Floquet模式系数和子网络中的权重与偏置，目标是使损失函数趋于零。当损失收敛时，意味着网络找到的解同时满足：1）电磁场由Floquet模式正确表达（嵌入式知识）；2）电磁场与膜层形状严格满足麦克斯韦方程组所导出的边界连续性条件（外部约束）；3）最终输出的S参数（由特定模式系数表示）符合预设的设计目标。这一流程完全无需预先准备由仿真或测量得到的数据集，实现了“从零开始”的逆向设计。
在第二阶段，研究团队将上述EAM-PINN方法应用于三个具体的逆向设计案例，并进行了完整的验证。每个案例都是一个独立的研究流程，包含EAM-PINN训练、全波仿真验证、实物加工与实测三个关键步骤。第一个案例是人工磁导体（AMC）的逆向设计。设计目标是在15 GHz频率、法向入射条件下实现同相反射（即反射相位为0°）。在EAM-PINN模型中，通过设置相应的反射模式系数cte(1)-00 (15 GHz) = 1来定义此目标。网络训练了约1万步，耗时20分钟，成功生成了一层金属膜的形状。仿真结果显示，该结构在15.117 GHz实现同相反射，误差为0.78%。随后，研究人员加工了一个20×20单元的有限阵列进行测试。由于难以获得完美的磁导体作为参考，他们以理想电导体（反射相位180°）为基准进行测量。实测结果显示，同相反射频率为15.245 GHz，误差为1.63%，成功验证了设计。第二个案例是宽带频率选择表面（FSS）的逆向设计。目标是设计一个在14-16 GHz频带内传输系数很低（带阻）的FSS。在模型中，通过设定多个频点（如12, 14, 16, 18 GHz）的传输模式系数幅值目标来定义这一宽带抑制特性。训练耗时约1小时，生成了两层金属膜的形状。仿真结果显示，在14 GHz和16 GHz处，传输系数均低于-20 dB，满足设计要求。同样加工了20×20的阵列进行实测，测量结果与仿真趋势基本一致，证实了设计有效性。第三个案例更具挑战性：具有角度稳定性的双频带FSS逆向设计。目标是在不同入射角（0°, 10°, 20°）下，均能在16 GHz和20 GHz附近实现带阻特性，而在其他频点（如14, 18, 22 GHz）保持高通。为了实现角度稳定性，在构建损失函数时，需要同时纳入这几种不同入射角下的控制方程残差。这是EAM-PINN方法灵活性的体现。训练后得到相应的双层膜结构。仿真结果表明，在不同角度下，该结构均能保持双阻带特性，误差为1.59%。最后的实物测量结果虽与仿真存在一定偏差（可能源于仪器和环境因素），但仍清晰呈现出双频带特性，证明了该方法在设计具有特定角度响应器件方面的潜力。
本研究取得了一系列明确的结果。首先，也是最核心的，是成功构建了EAM-PINN这一通用的逆向设计框架，并详细阐述了其将嵌入式解析知识与外部物理约束相结合的原理。其次，通过三个案例的数值实验结果，直接生成了满足复杂电磁性能目标（单频点同相反射、宽带抑制、多频点角度稳定）的超表面结构图案（图4， 9， 14）。这些结果是方法的直接输出。接着，全波仿真验证结果（图5， 10， 15）显示，由EAM-PINN生成的结构，其S参数特性与设计目标高度吻合，误差很小（0.78%， 1.59%），这初步证明了所设计结构的正确性。最后，实物加工与测量结果（图8， 13， 18）虽然在一些案例中与仿真存在微小偏移，但核心性能指标（同相反射频率、阻带中心频率）均得到实现，从根本上实证了EAM-PINN方法在真实物理世界中的可行性与可靠性。这些结果层层递进：方法构建是基础，数值实验是核心产出，仿真验证是理论检验，而实物测量则是最终的实践确认。它们共同构成了一个完整的证据链，支撑起论文的核心结论。
基于上述工作与结果，本研究得出明确结论：所提出的EAM-PINN方法是一种高效、有效的电磁周期性结构逆向设计新工具。它通过将Floquet模式解嵌入神经网络作为周期性神经元，并结合模匹配法导出的控制方程作为外部约束，建立了一个半解析的模型。该方法无需训练数据集，继承了传统PINN数据需求少的优点，同时因为嵌入式知识提供了更直接的物理引导，它相比传统PINN具有更强的学习能力和更易收敛的特性。实验表明，EAM-PINN的设计速度远快于需要大量数据训练的传统神经网络。本研究的价值体现在多个层面：在科学价值上，它推动了物理信息机器学习在电磁领域的发展，提出并实践了“嵌入式物理知识”与“外部物理约束”双轮驱动的范式，为求解复杂电磁逆问题提供了新思路。在应用价值上，该方法为设计AMC、FSS、极化转换表面等各类电磁超表面和周期性器件提供了快速、高效的自动化设计手段，能够打破基于经验的初始结构限制，探索更大的设计解空间，有望加速新型电磁器件的研发进程。
本研究的亮点突出。最重要的创新在于方法学：提出了“嵌入式解析模型”与“外部物理约束”相结合的EAM-PINN框架，这是对传统数据驱动神经网络和初代PINN的重要改进。具体而言，用Floquet模式解构造周期性神经元是极具巧思的嵌入式知识实现方式。研究工作的完整性也是一大亮点：不仅提出了新方法，还通过从单功能到多功能（AMC到FSS）、从单频点到宽带/多频点、从法向入射到角度稳定性等多个具有递增复杂性的设计案例，系统地验证了方法的普适性和鲁棒性，并且每个案例都辅以了从数值设计到全波仿真再到实物测量的全流程验证，增强了说服力。此外，该方法在无需任何先验数据的条件下完成逆向设计，显著降低了设计成本和时间，体现了其高效性。
论文中还提及了一些其他有价值的内容，例如，在子网络中使用sin(2πu)作为首层激活函数来防止陷入局部最优的策略；通过调整Logistic函数中的参数α来控制形状二值化的程度；以及对不同案例中网络设置（如模式数量m, n、采样点数、介质参数等）的详细说明，为其他研究者复现和应用该方法提供了充分的技术细节。文末也指出，当前的EAM-PINN仍处于发展阶段，但其在更广泛电磁器件逆向设计中的应用前景令人期待。