多周期多产品批量问题在产量不确定性下的分布鲁棒优化研究

学术背景

在现代制造业中，生产过程中的产量不确定性（yield uncertainty）是一个普遍存在的问题，尤其是在农业、食品加工、纺织等行业中。这些行业的生产过程依赖于不可控的外部因素（如气候、原材料质量等），导致生产输出难以预测。产量不确定性不仅增加了生产成本，还可能导致库存不足或过剩，进而影响企业的利润和市场竞争力。

为了应对这一问题，学术界提出了多种优化方法，包括随机规划（stochastic programming, SP）和鲁棒优化（robust optimization, RO）。然而，这些方法各有局限性：随机规划依赖于对不确定性参数概率分布的准确估计，而这在实际生产中往往难以实现；鲁棒优化则倾向于过度保守，可能导致高成本的生产计划。

分布鲁棒优化（distributionally robust optimization, DRO）结合了随机规划和鲁棒优化的优点，通过优化针对一组可能的概率分布的期望成本，提供了一种更灵活且高效的解决方案。本文的研究正是基于这一背景，旨在通过构建一种新的数据驱动的分布鲁棒优化框架，解决多周期多物品批量问题（multi-period multi-item lot-sizing problem, LSP）在产量不确定性下的生产计划优化问题。

论文来源

本论文由来自不同学术机构的学者合作完成，包括Paula Metzker、Simon Thevenin、Yossiri Adulyasak和IEEE会员Alexandre Dolgui。论文于2025年发表在IEEE Transactions on Automation Science and Engineering期刊上，题为《Distributionally Robust Optimization for the Multi-Period Multi-Item Lot-Sizing Problems under Yield Uncertainty》。

研究流程与详细内容

研究流程

1. 问题定义与模型构建
   本文研究的核心是多周期多物品批量问题（LSP），即在多个生产周期内，为多种物品确定最优的生产设置和生产批量，以最小化总成本。研究的创新点在于引入了产量不确定性，并构建了一个混合整数分布鲁棒优化模型（mixed-integer DRO model）。模型的目标是最小化包括设置成本、生产成本和库存成本在内的总成本，同时考虑产量不确定性对生产计划的影响。

2. 数据驱动框架与场景划分
   为了处理产量不确定性，研究团队采用了数据驱动的方法，通过对历史数据进行场景划分，将产量不确定性表示为不同场景下的概率分布。具体而言，研究团队使用了K-means聚类算法，将历史生产数据划分为多个场景（scenarios），每个场景代表一种可能的生产模式。这种场景划分方法能够捕捉到产量不确定性的不同模式，为后续的优化模型提供了基础。

3. 分布鲁棒优化模型的构建与求解
   基于场景划分，研究团队构建了两种分布鲁棒优化模型：均值绝对分布鲁棒模型（mean absolute DRO, MDRO）和Wasserstein分布鲁棒模型（Wasserstein DRO, Wdro）。这些模型通过引入场景维度的模糊集（scenario-wise ambiguity set），将不确定性表示为不同场景下的概率分布，并通过混合整数线性规划（MILP）的形式进行求解。研究团队使用了CPLEX求解器对模型进行了高效求解。

4. 实验设计与性能评估
   为了验证所提出模型的有效性，研究团队进行了大规模的蒙特卡洛模拟实验，生成了5000个随机场景来评估不同模型在生产计划中的表现。实验比较了分布鲁棒优化模型与传统随机规划和鲁棒优化模型在生产成本、库存管理和计算时间等方面的性能。

主要结果

1. 模型性能对比
   实验结果表明，分布鲁棒优化模型（特别是Wdro和MDro）在成本控制方面表现优于传统随机规划和鲁棒优化模型。具体而言，Wdro模型在平均成本、95百分位成本和99百分位成本方面均表现出色。例如，在样本内模拟中，Wdro模型的平均成本为1,432,243，比鲁棒优化模型降低了1.7%，比随机规划模型降低了3.2%。

2. 应对不确定性能力
   在样本外模拟中（即模拟环境中产量分布与优化时使用的分布不同），Wdro模型依然表现出较强的鲁棒性。尽管Wdro模型的平均成本略高于随机规划模型（1,750,526 vs. 1,743,162），但其在95百分位成本和99百分位成本方面的表现显著更好，表明其在极端情况下的应对能力更强。

3. 库存与缺货管理
   研究还发现，分布鲁棒优化模型在库存管理与缺货控制方面表现更为平衡。相比鲁棒优化模型，Wdro模型在保持较低库存水平的同时，减少了缺货风险。这种平衡策略使得Wdro模型在复杂生产环境中更具优势。

结论与意义

本文提出的分布鲁棒优化模型为多周期多物品批量问题在产量不确定性下的生产计划优化提供了新的解决方案。通过结合数据驱动的场景划分和分布鲁棒优化技术，模型能够在不确定环境中提供更稳健、更高效的生产计划。本文的研究不仅填补了多物品批量问题在产量不确定性方面的研究空白，还为实际生产中的决策提供了理论支持和实用工具。

研究亮点

1. 创新性模型：本文首次将分布鲁棒优化技术应用于多物品批量问题，并引入了场景维度的模糊集，有效捕捉了产量不确定性的多样性。
2. 数据驱动方法：通过K-means聚类算法对历史生产数据进行场景划分，为优化模型提供了可靠的数据支持。
3. 实际应用价值：本文提出的模型在实际生产环境中表现出较强的鲁棒性和成本控制能力，为制造业企业提供了实用的决策工具。

其他有价值的信息

本文还讨论了模型在不同参数设置下的性能表现，特别是在Wasserstein半径和场景数量对模型结果的影响。研究团队发现，使用3个场景的模糊集能够在计算时间和模型性能之间取得最佳平衡，而将Wasserstein半径设置为最大值（θ=1）能够在不过度增加成本的情况下提供更强的鲁棒性。

本文的研究为制造业中的生产计划优化提供了新的思路和方法，具有较强的理论价值和实际应用意义。