Divergences et régulation des solutions de burst dans les systèmes de commutation de fréquence

Contexte académique

Dans les systèmes dynamiques non linéaires, le phénomène de commutation de fréquence a récemment attiré une attention considérable en raison de sa présence omniprésente dans le monde réel et de ses caractéristiques dynamiques rapides-lentes uniques. La commutation de fréquence peut induire des comportements divergents pour certains seuils de commutation, ce qui entraîne une instabilité des solutions d’éclatement (bursting solutions) dans un champ vectoriel lentement excité lié à une bifurcation transcritique. Cette instabilité est particulièrement courante dans les applications d’ingénierie et peut causer des dommages fondamentaux à l’intégrité opérationnelle du système. Par conséquent, l’étude de la stabilité des solutions d’éclatement dans les systèmes à commutation de fréquence et des méthodes de régulation est d’une importance capitale pour comprendre et prédire le comportement dynamique des systèmes.

Source de l’article

Cet article a été co-écrit par Jiahao Zhao, Xiujing Han, Jiadong Wang et Meng Han, tous affiliés à la Faculté de génie civil et de mécanique de l’Université de Jiangsu, située dans la province du Jiangsu, en Chine. L’article a été accepté le 23 février 2025 et publié en 2025 dans la revue Nonlinear Dynamics, avec le DOI 10.1007/s11071-025-11045-y. Cette recherche a été soutenue par la Fondation nationale des sciences naturelles de Chine (projets nos 12272150 et 12072132).

Processus de recherche

1. Conditions et méthodes de régulation des divergences induites par la commutation de fréquence

L’étude commence par analyser les conditions nécessaires pour que la commutation de fréquence induise des divergences dans les solutions d’éclatement. En se basant sur un champ vectoriel lentement excité typique, l’étude identifie deux conditions nécessaires conduisant à la divergence. En ajustant rationnellement le schéma de commutation, l’étude bloque avec succès la fenêtre de seuil de divergence, générant un ensemble de solutions d’éclatement glissantes stables pour tout seuil raisonnable. Plus précisément, en inversant le schéma de commutation original (passant d’un rapport de commutation 2:1 à 1:2), l’étude reconfigure la distribution des segments dynamiques sur la frontière de commutation, permettant aux trajectoires du système d’effectuer une commutation de fréquence fluide via des segments stables, évitant ainsi la divergence.

2. Influence des perturbations de la fréquence d’excitation de référence sur la stabilité du système

Sur la base de la régulation des divergences induites par la commutation de fréquence, l’étude explore ensuite l’impact des perturbations de la fréquence d’excitation de référence ω sur la stabilité du système. L’étude révèle que les perturbations de ω peuvent induire quatre modes de divergence modulés en fréquence précédemment non documentés. À travers des simulations numériques et des analyses de diagrammes de bifurcation, l’étude dévoile les mécanismes de déclenchement de ces modes de divergence et leurs lois de distribution. Plus précisément, l’étude résume les spectres de distribution fréquence-seuil pour chaque mode de divergence sous différentes conditions initiales et analyse les mécanismes dynamiques à l’origine de ces modes de divergence.

3. Mécanismes dynamiques des modes de divergence

L’étude analyse en détail les mécanismes dynamiques des quatre modes de divergence :

• Mode de divergence A : La trajectoire complète la commutation de fréquence et diverge de x=0 après plus des trois quarts de la période d’excitation. Ce mode résulte d’une inadéquation entre la trajectoire et le bassin d’attraction cible due à un retard de bifurcation transcritique.
• Mode de divergence B : La trajectoire complète la commutation de fréquence et diverge environ un quart de la période d’excitation. Ce mode est dû à l’incapacité de la trajectoire à converger de manière stable au point de bifurcation transcritique.
• Mode de divergence C : La trajectoire diverge directement avant d’atteindre un quart de la période d’excitation. Ce mode résulte de l’incapacité de la trajectoire à suivre la vitesse de contraction du bassin d’attraction lors des oscillations initiales.
• Mode de divergence D : La trajectoire diverge après plusieurs périodes complètes. Ce mode représente un état intermédiaire entre les solutions d’éclatement stables et les autres modes de divergence.

Résultats principaux

À travers des simulations numériques et des analyses de diagrammes de bifurcation, l’étude obtient les résultats principaux suivants :

1. Conditions des divergences induites par la commutation de fréquence : L’étude identifie deux conditions nécessaires conduisant à la divergence et bloque avec succès la fenêtre de seuil de divergence en ajustant le schéma de commutation.
2. Modes de divergence modulés en fréquence : L’étude révèle que les perturbations de ω peuvent induire quatre modes de divergence modulés en fréquence et résume les spectres de distribution fréquence-seuil pour chaque mode sous différentes conditions initiales.
3. Mécanismes dynamiques : L’étude dévoile les mécanismes de déclenchement de ces modes de divergence et leurs lois de distribution, fournissant une base théorique pour comprendre et réguler la stabilité des solutions d’éclatement dans les systèmes à commutation de fréquence.

Conclusion et signification

Cet article, basé sur un champ vectoriel typique de bifurcation transcritique, propose pour la première fois une méthode de régulation des divergences induites par la commutation de fréquence et révèle de nouveaux modes de divergence induits par les perturbations de la fréquence d’excitation de référence. L’étude fournit non seulement de nouvelles perspectives pour l’analyse de la stabilité des systèmes à commutation de fréquence, mais offre également un support théorique pour la conception et la régulation des systèmes dans les applications d’ingénierie réelles. Les résultats montrent que le déclenchement des comportements divergents dépend principalement de la délimitation des bassins d’attraction dans l’espace des phases, une conclusion qui s’applique non seulement aux champs vectoriels de bifurcation transcritique, mais peut également être étendue à d’autres systèmes dynamiques avec des bassins d’attraction délimités.

Points forts

1. Méthode de régulation des divergences : En ajustant rationnellement le schéma de commutation, l’étude bloque avec succès la fenêtre de seuil de divergence induite par la commutation de fréquence, générant des solutions d’éclatement glissantes stables.
2. Modes de divergence modulés en fréquence : L’étude révèle pour la première fois quatre modes de divergence modulés en fréquence induits par les perturbations de ω et résume leurs spectres de distribution fréquence-seuil.
3. Mécanismes dynamiques : L’analyse détaillée des mécanismes de déclenchement de ces modes de divergence et de leurs lois de distribution fournit une nouvelle base théorique pour comprendre et réguler la stabilité des solutions d’éclatement dans les systèmes à commutation de fréquence.

Autres informations utiles

L’étude souligne également que la délimitation des bassins d’attraction est étroitement liée à l’analyse des variétés des points d’équilibre instables (saddle equilibrium solutions). Les recherches futures pourraient utiliser cette analyse pour prédire la stabilité des systèmes de commutation et éviter les comportements divergents.