随机非线性时变系统有限时间稳定性与不稳定性定理的新进展

关于随机非线性时变系统有限时间稳定性和不稳定性定理的新成果

1. 研究背景与意义

稳定性理论是系统理论和工程应用中的核心内容,也是系统分析和综合中最基础的考虑之一。在稳定性理论中,最常用的两个概念是渐近稳定性(asymptotic stability)和有限时间稳定性(finite-time stability)。渐近稳定性描述了系统状态在时间趋于无穷时的行为,而有限时间稳定性则关注系统在有限时间内的瞬态性能。

许多工程问题中,有限时间稳定性相比渐近稳定性显得更为重要,例如在机器人操控的轨迹控制和水下飞行器的姿态控制等桥接性任务中,人们更加注重系统在有限时间内到达期望状态的能力。具有有限时间稳定性的系统不仅表现出更好的鲁棒性,而且具有更快的收敛速度。然而,目前已有的研究在有限时间稳定性方面仍存在空隙。特别是当前的有限时间稳定性理论对Lyapunov(李亚普诺夫)函数的无穷小生成元(infinitesimal generator,记为L_v)一般要求为负定或非正,但这些条件过于严格,难以应用于一些复杂的随机非线性系统。

在此背景下,山东科技大学的Weihai Zhang与烟台大学的Liqiang Yao针对随机非线性时变系统开展了一项深入研究,该研究试图突破当前有限时间稳定性结果的限制,并提出更弱的充分条件以确保随机系统解的稳定性或不稳定性。

2. 论文来源

这篇名为《New results on finite-time stability and instability theorems for stochastic nonlinear time-varying systems》的研究论文发表在 Science China Information Sciences 的2025年2月刊(68卷2期)上,其DOI为:10.1007/s11432-024-4118-x。本文主作者Weihai Zhang和Liqiang Yao分别来自山东科技大学和烟台大学。

本文主要探讨了随机非线性时变系统在概率意义下的有限时间稳定性与不稳定性新定理,为解决理论上的不足和提升系统分析的适用性提供了全新视角。

3. 研究内容与方法

本文属于原创研究,核心目标是提出新的、更宽松的随机李亚普诺夫函数约束条件,以及建立有限时间稳定性与不稳定性的新判据。研究工作的主要流程包括以下几个部分:

3.1 系统模型与问题的数学表述

作者研究的主模型是一类随机非线性Itô系统,其形式为:

$$ dx(t) = f(t, x(t))dt + g(t, x(t))dW(t), $$

其中,$x(t) \in \mathbb{R}^r$ 为系统状态,$W(t)$ 为标准Wiener过程(维数为$d$)。函数 $f$ 和 $g$ 分别是时变漂移项和扩散项,满足相应的连续性和局部Lipschitz条件。

根据模型特性,作者从以下几个核心问题出发展开研究: 1. 随机系统解的存在性问题,即给出弱化版本的充分条件,保证全局解的存在。 2. 对于L_v不再仅局限于负定条件,在允许其为不定(可正也可负)的条件下,提出全新的有限时间稳定性与不稳定性定理。

3.2 随机系统全局解的存在性条件

通过应用Skorokhod随机过程理论和相关引理,作者用两个新的引理给出随机系统的全局解存在性条件。特别是,他们弱化了已有文献 [23] 中“随机系统漂移项和扩散项需要满足严格边界约束”的限制条件,使得该引理适用于更广泛的随机非线性系统。

引理1: 若存在一个常数 $h > 0$,使得随机系统满足以下条件:

$$ |f(t, x)|^2 + ||g(t, x)||^2 \leq h(1 + |x|^2), $$

则随机过程存在连续解,且其解可定义于 $[t_0, \infty)$。

3.3 有限时间稳定性定理

为了突破现有随机稳定性理论中对Lyapunov函数约束的严格限制,作者提出了一类与“全局一致渐进稳定函数”(Uniformly Asymptotically Stable Function,简记为UASF)相关的有限时间稳定性判据。核心理论表现如下:

定理1:

若存在全局解 $x(t)$,并且存在以下关系: 1. 为任意闭集 $U \subseteq \mathbb{R}^r$,函数 $v(t, x)$ 满足正值约束:$\gamma(|x|) \leq v(t, x) \leq \bar{\gamma}(|x|)$。 2. 李亚普诺夫生成元 $L_v$ 满足条件:$L_v(t, x) \leq \mu(t) \cdot [v(t, x)]^\kappa$,其中 $\kappa \in [0, 1)$,且 $\mu(t)$ 为UASF。

在这些条件下,系统解在概率意义下是有限时间稳定的。

作者通过这一定理成功扩展了已有理论,放宽了对于 $L_v$ 为负定的要求,同时通过对 $\kappa$ 的广义表达保证了判据的泛化性。

定理2:

当$\kappa = 0$时,定理1退化为定理2。此时条件简化,但依然能够覆盖已有的特殊结果,例如文献 [21] 和 [23] 中的有限时间渐近稳定性结论。


4. 主要实验结果与案例验证

4.1 案例1:非平稳性随机系统稳定性分析

考虑随机系统:

$$ dx(t) = \frac{1}{2} \mu(t)x^{13}(t)dt - \frac{1}{2}x(t)dt + x(t)\cos(x(t))dW(t), $$

其中 $\mu(t)$ 是可正可负的分段连续函数。传统有限时间稳定性判据无法直接用于分析此系统。

  • 实验方法:取Lyapunov函数 $v(x) = x^2$;
  • 结果验证:通过计算 $L_v = \mu(t) v^{23}(x)$,推导出系统在 $\mu(t)$ 满足特定约束时为有限时间稳定。

4.2 案例2:控制系统的有限时间稳定性

随机非线性系统通过反馈控制器实现有限时间内的稳定性: $$ dx(t) = \mu(t)x^{15}(t)dt + x^{35}(t)dW(t), $$ 控制器$u(t)$被设计为非线性函数,系统数值仿真证明了有限时间收敛至平衡点的结果。


5. 研究意义与亮点

本文研究具有以下突出贡献: 1. 理论创新:提出放宽Lyapunov生成元约束的新判据,为随机动力学系统的稳定性研究提供了更多灵活性。 2. 算法简化:通过UASF的引入,简化了理论分析框架,为工程实际问题的稳定性设计提供指导。 3. 广泛适用性:作者在数值实验中验证了方法在复杂非平稳系统中的有效性,并为进一步扩展实际控制算法奠定理论基础。

这一成果对于复杂随机系统的有限时间稳定性分析与控制具有重要推动作用,有望应用于机器人控制、信号处理和复杂网络系统的建模与优化等多个领域。