Étude sur l’influence des doubles délais dans un système prédateur-proie par la méthode des courbes de commutation de stabilité

Contexte académique

Le modèle prédateur-proie (predator-prey model) est l’un des modèles fondamentaux en écologie pour étudier les interactions entre populations. Bien que ces modèles semblent simples, ils peuvent générer des structures dynamiques complexes, et dans certains cas, conduire à des trajectoires chaotiques. Le taux de consommation des proies par les prédateurs, appelé réponse fonctionnelle (functional response), joue un rôle clé dans ces modèles. La réponse fonctionnelle peut être classée en deux types : dépendant uniquement des proies et dépendant à la fois des proies et des prédateurs, tels que les types Holling I-IV et Beddington-DeAngelis, Crowley-Martin, entre autres.

Ces dernières années, les chercheurs ont commencé à s’intéresser à l’impact des délais (delay) sur les systèmes prédateur-proie. Les délais sont omniprésents dans les écosystèmes, par exemple, le délai de reproduction des prédateurs (reproduction delay) et le délai de récolte par les humains (harvest delay). La présence de délais rend l’analyse de la stabilité du système plus complexe, en particulier lorsque plusieurs délais coexistent dans le système. La recherche sur les délais doubles (double delays) n’a pas encore été suffisamment explorée en écologie et en modélisation mathématique, mais leur impact sur la dynamique du système revêt une importance théorique et pratique significative.

Cet article vise à étudier un système de prédateur-proie diffusif avec une réponse fonctionnelle de type Crowley-Martin et un délai de récolte, en examinant l’effet synergique du délai de récolte et du délai de reproduction sur la stabilité du système. En utilisant la méthode des courbes de commutation de stabilité (stability switching curve), les auteurs analysent la stabilité des points d’équilibre de coexistence et étudient comment les paramètres de délai influencent la dynamique du système à travers la bifurcation de Hopf (Hopf bifurcation) et la bifurcation de Turing (Turing bifurcation).

Source de l’article

Cet article a été co-écrit par Lakpa Thendup Bhutia, Samir Biswas, Tapan Kumar Kar et Bidhan Bhunia. Tous sont membres du département de mathématiques de l’Institut indien des sciences et technologies (Indian Institute of Engineering Science and Technology, Shibpur). L’article a été publié le 15 février 2025 dans la revue Nonlinear Dynamics, avec le DOI 10.1007/s11071-025-11015-4.

Processus de recherche

1. Analyse de l’instabilité spatiale du système sans délai

En l’absence de délai (τ₁ = τ₂ = 0), les auteurs ont d’abord étudié la stabilité du système de prédateur-proie diffusif. En linéarisant le système et en analysant son équation caractéristique, les auteurs ont dérivé les conditions de stabilité pour les points d’équilibre de coexistence et ont exploré l’impact du coefficient de diffusion sur l’instabilité de Turing (Turing instability). Les recherches montrent que lorsque le coefficient de diffusion δ₂ dépasse une certaine valeur critique δ₂*, le système subit une bifurcation de Turing, conduisant à la formation de motifs spatiaux.

Résultats expérimentaux : Par des simulations numériques, les auteurs ont validé les résultats de l’analyse théorique. Lorsque δ₂ < δ₂, le système reste stable ; lorsque δ₂ > δ₂, le système présente une instabilité spatiale, formant des motifs de Turing. Cela montre que le coefficient de diffusion joue un rôle clé dans la stabilité du système.

2. Analyse des courbes de commutation de stabilité pour le système avec délai

Après l’introduction des délais doubles, les auteurs ont utilisé la méthode des courbes de commutation de stabilité pour étudier l’impact des délais sur la stabilité du système. En analysant les racines de l’équation caractéristique, les auteurs ont déterminé les ensembles de croisement (crossing set) pour chaque nombre d’onde (wave number) et ont dérivé les courbes de bifurcation de Hopf. Les recherches montrent que lorsque les paramètres de délai traversent ces courbes, la stabilité du système change.

Résultats expérimentaux : Les simulations numériques montrent que lorsque les délais de récolte τ₁ et de reproduction τ₂ traversent les courbes de commutation de stabilité, les points d’équilibre de coexistence du système subissent une bifurcation de Hopf, conduisant à l’apparition de solutions périodiques. En particulier, lorsque le délai de reproduction est faible, l’impact du délai de récolte sur la dynamique du système est minime ; tandis que lorsque le délai de reproduction est modéré, le délai de récolte induit un phénomène de commutation de stabilité.

3. Analyse de la direction et de la stabilité de la bifurcation de Hopf

Pour mieux comprendre l’impact des délais sur la dynamique du système, les auteurs ont utilisé la théorie des formes normales (normal form theory) et le théorème de la variété centrale (center manifold theorem) pour analyser la nature de la bifurcation de Hopf. En calculant la direction de la bifurcation et la stabilité des solutions, les auteurs ont déterminé si les solutions périodiques étaient supercritiques ou sous-critiques.

Résultats expérimentaux : Les recherches montrent que lorsque les paramètres de délai traversent les courbes de bifurcation de Hopf, le système génère des solutions périodiques stables. Cela indique que les délais influencent non seulement la stabilité du système, mais peuvent également entraîner des comportements dynamiques complexes.

Conclusions de l’étude

Cet article a systématiquement étudié l’impact des délais doubles sur la stabilité d’un système de prédateur-proie diffusif en utilisant la méthode des courbes de commutation de stabilité. Les recherches montrent que :

1. Le coefficient de diffusion joue un rôle clé dans la stabilité du système, en particulier lorsque le coefficient de diffusion dépasse une certaine valeur critique, le système subit une bifurcation de Turing, conduisant à la formation de motifs spatiaux.
2. Les paramètres de délai ont un impact significatif sur la stabilité du système. Lorsque les paramètres de délai traversent les courbes de commutation de stabilité, les points d’équilibre de coexistence du système subissent une bifurcation de Hopf, conduisant à l’apparition de solutions périodiques.
3. L’effet synergique du délai de récolte et du délai de reproduction induit un phénomène de commutation de stabilité, en particulier lorsque le délai de reproduction est modéré, l’impact du délai de récolte sur la dynamique du système est plus significatif.

Points forts de l’étude

1. Recherche sur les délais doubles : Cet article est le premier à combiner le délai de récolte et le délai de reproduction pour étudier leur impact synergique sur la stabilité d’un système de prédateur-proie diffusif, comblant ainsi une lacune dans ce domaine de recherche.
2. Méthode des courbes de commutation de stabilité : Les auteurs ont utilisé la méthode des courbes de commutation de stabilité pour analyser systématiquement l’impact des paramètres de délai sur la stabilité du système, fournissant ainsi un nouvel outil pour l’étude des systèmes à délais multiples.
3. Validation par simulation numérique : Grâce à de nombreuses simulations numériques, les auteurs ont validé les résultats de l’analyse théorique, renforçant ainsi la crédibilité des conclusions de l’étude.

Valeur pratique

Cette recherche revêt non seulement une importance théorique, mais offre également des références pour la gestion des écosystèmes réels. Par exemple, les pêcheurs peuvent ajuster le délai de récolte (en utilisant des filets de différentes tailles) pour contrôler les activités de pêche, assurant ainsi la durabilité des ressources halieutiques. De plus, les résultats de cette recherche fournissent une nouvelle perspective pour comprendre l’impact des délais multiples sur la dynamique des écosystèmes, aidant à prédire et à contrôler la stabilité des écosystèmes.

Cet article, à travers une analyse théorique et des simulations numériques, explore en profondeur l’impact des délais doubles sur la stabilité d’un système de prédateur-proie diffusif, offrant des références théoriques et pratiques importantes pour la recherche dans ce domaine.