双延迟在扩散捕食者-猎物系统中的影响：稳定性切换曲线法

数学 生命科学
双延迟 稳定性切换 图灵分岔 霍普夫分岔 正常形式 交叉方向 扩散系统

双重延迟对捕食者-猎物系统影响的稳定性切换曲线方法研究

学术背景

捕食者-猎物模型（predator-prey model）是生态学中研究种群相互作用的基础模型之一。尽管这些模型看似简单，但它们能够产生复杂的动态结构，甚至在某些情况下导致混沌轨迹。捕食者对猎物的消耗率（即功能响应，functional response）在这些模型中起着关键作用。功能响应可以分为仅依赖猎物的类型和同时依赖猎物与捕食者的类型，例如Holling I-IV型和Beddington-DeAngelis、Crowley-Martin等类型。

近年来，研究者们开始关注延迟（delay）对捕食者-猎物系统的影响。延迟在生态系统中普遍存在，例如捕食者的繁殖延迟（reproduction delay）和人类的捕捞延迟（harvest delay）。延迟的存在使得系统的稳定性分析更加复杂，特别是当系统中存在多个延迟时。双重延迟（double delays）的研究在生态学和数学建模中尚未得到充分关注，但其对系统动态的影响具有重要的理论和实际意义。

本文旨在研究一个具有Crowley-Martin功能响应和捕捞延迟的扩散捕食者-猎物系统，探讨捕捞延迟和繁殖延迟对该系统稳定性的协同影响。通过稳定性切换曲线（stability switching curve）方法，作者分析了共存平衡点的稳定性，并研究了延迟参数如何通过Hopf分岔（Hopf bifurcation）和Turing分岔（Turing bifurcation）影响系统动态。

论文来源

本文由Lakpa Thendup Bhutia、Samir Biswas、Tapan Kumar Kar和Bidhan Bhunia共同撰写。他们均来自印度科学与技术研究所（Indian Institute of Engineering Science and Technology, Shibpur）的数学系。论文于2025年2月15日发表在Nonlinear Dynamics期刊上，DOI为10.1007/s11071-025-11015-4。

研究流程

1. 非延迟系统的空间不稳定性分析

在无延迟（τ₁ = τ₂ = 0）的情况下，作者首先研究了扩散捕食者-猎物系统的稳定性。通过线性化系统并分析其特征方程，作者推导了共存平衡点的稳定性条件，并探讨了扩散系数对Turing不稳定性（Turing instability）的影响。研究发现，当扩散系数δ₂超过某个临界值δ₂*时，系统会经历Turing分岔，导致空间模式的形成。

实验结果：通过数值模拟，作者验证了理论分析的结果。当δ₂ < δ₂*时，系统保持稳定；当δ₂ > δ₂*时，系统出现空间不稳定性，形成Turing模式。这表明扩散系数在系统的稳定性中起着关键作用。

2. 延迟系统的稳定性切换曲线分析

在引入双重延迟后，作者采用稳定性切换曲线方法研究了延迟对系统稳定性的影响。通过分析特征方程的根，作者确定了每个波数（wave number）对应的交叉集（crossing set），并推导了Hopf分岔曲线。研究发现，随着延迟参数通过这些曲线，系统的稳定性会发生切换。

实验结果：数值模拟表明，当捕捞延迟τ₁和繁殖延迟τ₂通过稳定性切换曲线时，系统的共存平衡点会发生Hopf分岔，导致周期解的出现。特别是当繁殖延迟较低时，捕捞延迟对系统动态的影响较小；而当繁殖延迟适中时，捕捞延迟会诱导稳定性切换现象。

3. Hopf分岔的方向与稳定性分析

为了进一步理解延迟对系统动态的影响，作者使用范式理论（normal form theory）和中心流形定理（center manifold theorem）分析了Hopf分岔的性质。通过计算分岔方向和解的稳定性，作者确定了周期解的超临界或亚临界性质。

实验结果：研究发现，当延迟参数通过Hopf分岔曲线时，系统会产生稳定的周期解。这表明延迟不仅影响系统的稳定性，还可能导致复杂的动态行为。

研究结论

本文通过稳定性切换曲线方法，系统地研究了双重延迟对扩散捕食者-猎物系统稳定性的影响。研究发现：

  1. 扩散系数在系统的稳定性中起着关键作用，特别是当扩散系数超过某个临界值时，系统会经历Turing分岔，导致空间模式的形成。
  2. 延迟参数对系统的稳定性具有重要影响。当延迟参数通过稳定性切换曲线时，系统的共存平衡点会发生Hopf分岔，导致周期解的出现。
  3. 捕捞延迟和繁殖延迟的协同作用会导致系统的稳定性切换现象，特别是在繁殖延迟适中的情况下，捕捞延迟对系统动态的影响更为显著。

研究亮点

  1. 双重延迟的研究：本文首次将捕捞延迟和繁殖延迟结合，研究了它们对扩散捕食者-猎物系统稳定性的协同影响，填补了相关领域的研究空白。
  2. 稳定性切换曲线方法：作者采用稳定性切换曲线方法，系统地分析了延迟参数对系统稳定性的影响，为多重延迟系统的研究提供了新的工具。
  3. 数值模拟验证：通过大量的数值模拟，作者验证了理论分析的结果，增强了研究结论的可信度。

应用价值

本文的研究不仅具有重要的理论意义，还为实际生态系统的管理提供了参考。例如，渔民可以通过调节捕捞延迟（如使用不同大小的渔网）来控制捕捞活动，从而维持渔业资源的可持续性。此外，研究结果还为理解多重延迟对生态系统动态的影响提供了新的视角，有助于预测和控制生态系统的稳定性。

本文通过理论分析和数值模拟，深入探讨了双重延迟对扩散捕食者-猎物系统稳定性的影响，为相关领域的研究提供了重要的理论和实践参考。